经济学原理(1)

第一章偏好与选择第一节理性消费者第二节效用函数第三节效用最大化选择第四节显示性偏好理论2本章思路本章给出了如下两种消费者选择描述思路理性消费者的选择选择最优最大化用效线曲无差异函数效用用效好偏对象选择思路一：偏好理论理性消费者选择与偏好用效函数效用线曲无差异偏好公理性示显（最优选择）消费者选择论思路二：显示性偏好理31.消费束消费束由一个n元商品组合向量描述，记为x，),,,(21nxxxx，其中0ix是对第i种商品的选择数量,ni,,2,12.消费集所有消费束的集合称为消费集或消费空间。可记作nRX。非负欧几里得空间定义了消费集。nixxxxxiinn,,2,1,0,:),,,(21RR3.消费集性质（1）nRX（2）消费集X是连续的（3）消费集X是凸集（4）X0一、消费集第一节理性消费者41.偏好关系定义.设有两个消费束1x和2x，若21~xx，可以说1x和2x无差异；符号~表示没有差别；若21xx，可以说1x好于2x，符号表示严格的偏好关系；若21xx，可以说1x至少与2x是一样的，符号表示一种弱偏好关系。2.偏好关系公理公理一、偏好关系的完备性：对于任何存在于X中的21xx，要么21xx，要么1221xxxx或，要么21~xx。公理二、偏好关系的非对称性：对于所有Xx，若21xx，则不存在12xx。公理三、偏好关系的传递性：对于三个消费束Xxxx321、、，若21xx，32xx则31xx。二、偏好关系53.偏好关系性质假定（1）偏好的连续性:对于所有Xyx,，则集合}:{yxx和集合}:{yxx都是闭集。（2）偏好的强单调性:对于所有的0x和Xx1，如果10xx则10xx，但如果10xx，则10xx。（3）偏好局部非饱和性:即对于任意Xy，总可以找到另一个消费束Xx，yx。6（4）偏好的严格凸性所谓凸性，指如果两个消费束01xx那么对于所有的]1,0[，都有001)1(xxx。严格凸性，若01xx且01xx，那么对于所有的1,0，都有001)1(xxx。凸性是经济学中专用的一个核心假定，相关概念有凸集和凸函数。关于凸集可这样理解：①设nzyxR,,，对于任意的10，若存在yxz)1(，则称z是x和y一个凸组合，请参阅图1—1。②设nRX，若X中任意两点的凸组合都在X中，则称X为凸集。即Xyx,，若X])1([yx，10，则X为凸集。参阅图1—2。③凸性偏好假定的经济意义有两点。其一、消费者更喜欢商品的多样化选择；其二、消费者消费商品的边际替代率递减。78第二节效用函数偏好是一种抽象的概念，尚不能满足消费者行为分析中数学框架构件的要求。为此，围绕这偏好的量化问题，经济学家们作了大量的工作，先后提出了基数效应论和序数效应论，试图用效用的概念来对效用进行量化。基数效应论于19世纪提出，埃奇沃斯（1882年）对此作了大量工作。其基本要点是，效用对偏好的反映可用具体数值来表现和比较。序数效应论最初由帕累托（1896年）提出，后经斯拉茨基（1915年）、希克斯（1939年）进一步完善，由德布鲁（1954-1964）构建了基于序数效应论的消费者行为分析框架，并一直延续至今。序数效应论的主要观点是效用用具体数值来表示是没有意义的。9一、效用函数的定义所谓效用是指消费者通过消费一定数量商品而获得的满足程度，效用函数则刻画满足水平与所消费商品数量之间的关系。假若消费者只选择消费两种商品1x和2x，其效用函数可表示成),(21xxuu，若消费者选择n种商品数量，)(),,(1xuxxuun，x为消费束。我们一般可以定义效用函数为一个实函数u：RRn，nR称为u的定义域，R称为u的值域。设消费束nRx，则称Rx)(u为消费束x在映射u下的像或解。实际上，效用函数u是消费商品集的单值映射。10二、效用函数存在性基于偏好关系的效用函数的存在是可以证明的，迪布鲁（Debreu）1954年在这方面作出了杰出的工作，此后很多经济学家又进行了诠释。科莱尔给出了迪布鲁工作的简要证明，参见图1—311三、效用函数的导数应用连续函数可微分的性质，建立新古典经济学理论中的一个核心概念——边际效用，进而为研究消费者效用最大化行为提供分析工具。效用函数的一阶导数称为边际效用，用MU表示，其经济意义是新增一单位消费品所增加的效用。戈森（1854年）曾提出边际效用随消费品数量增加而减少的命题，这就是著名的戈森第一定律。12若效用函数),,,(21nxxxuu，那么第i种商品的边际效用就是对效用函数)(u求关于ix的一阶偏导数ixu)(。消费束x的边际效用则可表示成：nxuxuxuMU,,,)(21x连续函数的二阶导数是判别函数极值的重要工具。效用函数的二阶导数在研究消费者效用最大化行为中发挥重要作用。13根据函数二阶导数的定义，效用函数的二阶导数用一个海塞矩阵表示，即：nnnnnnnnnnnuuuuuuuuuxuxxuxxuxxuxuxxuxxuxxuxuuH212222111211222212222221221221221222)()(x14四、效用函数的凹性和拟凹性效用函数凹性有很明确的经济含义，对消费者而言，他选择一组不同商品加权平均消费而得到的效用大于或等于单独消费每种商品所得到的效用。1.效用函数的凹性。是指效用函数u定义在凸消费集nRX中的实值函数。对于其中两个任意消费束（也可认定为消费品）X10,xx而言，当10时，存在)()1()(])1([1010xuxuxxu的关系，则称u为凹函数。进一步，当10xx，10〈〈时，有)()1()(])1([1010xuxuxxu则称u为一个严格的凹函数。15162.效用函数的拟凹性效用函数是定义在消费集X中的，消费集仍然要求是凸集，Xxx10,，且)()(01xuxu，若存在)(])1([001xuxxu则称效用函数u是拟凹的，式中10。如果01xx且10，当)()(01xuxu时，存在)(])1([001xuxxu则称效用函数u是严格拟凹的。由)()(01xuxu可推出，)()()1()()()1()(00001xuxuxuxuxu，从而得到凹函数是拟凹函数的结论。171.无差异曲线定义。无差异曲线是由凹函数性质得到的经济理论分析的重要工具。设函数RX:f是一个凹函数，X是R中的一个实集，那么集合axfXxxL)(,:对于R都是一个凸集。当函数f是一个拟凹函数时，也可以保证上述关系。我们称集合L为上水平集或上等高集。定义L*为u(x)=a时的上水平集为等效无差异曲线，则：axuXxxL)(,:*五、等效无差异曲线1819（1）无差异曲线是凸向原点的凸函数),(02010xxx和),(12111xxx是效用为0u的无差异曲线上的两个点，Xxx10,。定义函数)(12xfx代表这条无差异曲线，当10时，一定存在：)()1()(])1([11011101xfxfxxf所以函数f为凸向原点的凸函数，参阅图1—82.无差异曲线的性质我们称满足连续性和严格凸性的偏好为良好行为偏好。我们讨论无差异曲线的性质一般是指良好行为偏好。2021（2）愈远离原点的无差异曲线所代表的效用水平愈高，反之则低。这是由效用函数)(xu的拟凹性决定的。若存在一个函数)(xuu是定义在凸集nRX中的单调递增的实值函数，则效用函数)(xu是拟凹函数。由拟凹性可知，010110)](),(min[])1([uuuuuxxxx注意区分两个概念：无差异曲线是凸函数，而效用函数是拟凹函数。无差异曲线是反映同一效用水平的曲线，而不是效用函数曲线本身；同一效用函数可形成很多不同效用水平的无差异曲线。（3）由同一效用函数所形成不同效用水平的无差异曲线互不相交.22图1—9相交的无差异曲线违背偏好公理23定义2112xuxudxdx为商品1对商品2的边际替代率MRS12。一般而言，有jiijxuxudxdx为商品i对商品j的边际替代率MRSij，即保持效用不变时，ix可以替代jx的比率。六、边际替代率边际替代率是指消费者在保证效用相等的前提下，用一种商品替代另一种商品的比率。24图1—10两类商品的边际替代率25第三节效用最大化选择一、预算集1.预算约束。设w为消费者拥有的财富水平，若一个消费束的总支付niiiwxp1px，则认为该消费束是可行的，wpx称为消费行为的预算约束条件。2.预算集。预算集指所有满足消费者预算约束的消费束的集合，记为},|{wnpxRxxB。本节中将建立描述消费者效用最大化选择的分析框架。263.预算集的性质。（1）预算线的斜率为21pp，代表两种商品之间的交换比例。（2）价格不变而财富增加（减少）时，预算线外移（内移），使预算集扩大（缩小），但预算线的斜率不变。当财富水平保持不变，价格发生变化时，预算集将发生变化。但当所有商品价格与财富水平都以同样比例t变动时，预算集保持不变，即：},|{},|{wtwtnnpxRxxpxRxxB也就是说预算集满足零次齐次性。（3）预算集是一个凸集，就是说若消费束0x和1x均为B中的元素，则210)1(xxx也是B中的元素。27图1—11预算线与预算空间28消费者在给定价格和财富水平约束下，选择最为偏好的消费束，可以表述成下面的效用最大化（UMP）问题：)(maxxxuwtspx..面对每一个不同的价格和财富水平所形成的最优消费束又可表示成nwRpx),(，称为瓦尔拉斯需求对应。当2n，且),(wpx对于所有的价格和财富水平都是单值时，则称),(wpx为瓦尔拉斯需求函数，很多文献又称它为马歇尔需求函数，记为),(wfpx。二、效用最大化选择29下面讨论最大化问题的求解方法。目标函数和预算约束条件为：),(max21xxuu02211..wxpxpts构造拉格朗日函数：)]([),(),,(221102121xpxpwxxuxxfL应用极值一阶识别条件即一阶偏导数为0，得到：2121ppxuxu（1.6）也可说当商品的边际替代率等于其价格之比时消费者达到了最大效用目标。3011pxu，22pxu2211pxupxu（1.7）拉格朗日乘数给出了放松效用最大化约束时的影子价值或边际价值，表示最优点上消费者财富的边际效用价值。一阶条件是极值识别的必要条件，但并不充分，因此还需要通过二阶导数进行极大或极小的判断。这里用到的工具是海塞加边行列式，该行列式由效用函数的二阶导数和作为附加元素的约束条件中的价格构成。31效用函数的二阶导数为：jixxujixuujiiij,,222，nji,,2,1,，（1.8）当2n时，海塞加边行列式为：02122221112112pppuupuuH（1.9）由于2112ff，上式可以展开成：21222211211222pfpfppfH（1.10）此时效用最大化存在的二阶条件要求02H。3233第四节显示性偏好理论一、显示性偏好理论的