经济数学模型

⒈课程名称：经济数学模型学分：2教师：毛瑞华电话：[phone]E-mail:[e-mail]@126.com(123456)QQ：4595193902.参考书1.宏观经济数量分析方法与模型,刘起运主编,高教2.经济数学模型,洪毅等编著华南理工大学3.经济学中的分析方法,高山晟(美)著,刘振亚译,中国人大4.经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特著,朱保华钱晓明译上海财大5.经济学的结构---数量分析方法,EugeneSilberberg,WingSuen著,高峰等译,清华第一部分经济数学模型的概念及建模方法§1.1数学模型和模型的建立一、模型和数学模型1.模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。2.数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。(1)对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；(2)给出描述问题的数学提法；(3)利用数学理论和方法或计算机进行分析,得出结论；(4)利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.3.需要解决几个问题：4.数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用二、建立数学模型的一个实例1、问题的提出：设市场上有n种资产Si(i=1,2,…,n)可供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这n种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产Si的平均收益率为ri,且预测出购买资产Si的风险损失为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。购买资产Si的需要支付交易费，其费率为pi,并且当购买额不超过ui时,交易费按购买额ui计算。设同期银行存款利率是r0=5%,且存取款时既无交易费也无风险。2.对问题的定位：最优化问题需要确定购买资产Si的具体投资额xi,即建立投资组合，实现两个目标：(1)净收益最大化；(2)整体风险最小化；3.建模准备：(1)决策变量：资产Si(i=0,1,…,n)的投入量xi,i=0,1,…,n,其中S0表示将资产存入银行。(2)投资收益：购买资产Si(i=0,1,2,…n)的收益率为ri,因此投资xi的收益率为rixi,除去交易费用ci(xi)，则投资xi的净收益为Ri=rixi-ci(xi)。从而，总投资的总收益为R(x)=Ri(xi)。用数学符号和公式表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件(3)投资风险：购买资产Si(i=0,1,2,…n)的风险损失为qi,因此投资xi的收益率为qixi,其总体风险用Si的风险，即Qi(xi)=qixi最大的一个来度量。从而总投资的风险损失为Q(x)=max{Qi(xi)}。(4)约束条件：.0)(,,,1.,;0,;0,0)(00xcniuxxpuxupxxciiiiiiiiiiiMxcxaniiii0)(.b.记x=(x0,x1,x2,…,xn)T,1=(1,1,1,…,1)T,c=(c0,c1,c2,…,cn)T,r=(r0,r1,r2,…,rn)T,1cxxx1crxxTniiiiniTTniiixfFxQQxRR000)()()(max)()()(总净收益R(x),整体风险Q(x)和总资金F(x)各为0()min(),0()inQFMRxxxx4.两目标优化模型5.单目标优化模型求解模型max()..()(),0RstQkFMxxxx,Mqk令模型1求最大化收益。,q给定风险水平,q给定风险水平求解模型模型2求最小化风险。,r给定盈利水平min()..()(),0QstRhFMxxxx,Mrh令模型3给定投资者对风险-收益的相对偏好参数0，求解模型0,)(..)()1()()(minxxxxxMFtsRQS6.简化交易费用下的模型.,;0,;0,0)(iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxcuipiuixici0(1)交易费用函数为(2)由于固定费用piui的存在在，使得前面的模型是非线性模型，很难求解模型。表示投资于Si的资金比例。在实际计算中，常假设M=1，则Mxpniii0)1(当M很大而ui相对较小时，可略去piui的作用，即ci(xi)=pixi,则资金约束条件变为：(3)简化交易费用下的模型：LP1：11max..11,0.niiiiiiniiiirpxstqxkpxxLP2：11minmax..11,0.iiniiiiniiiiqxstrpxhpxxLP3：1011min(1)..11,0.nniiiiiinniiiixrpxstqxxpxx§1.2优化模型的求解方法(1)多元函数的无(有)条件极值；(2)*线性(或非线性)规划方法；§1.2.1多元函数的极值(一)多元函数的极值设n元函数f(x1,x2,…,xn)具有3阶连续偏导数，记12,(,,)TnXxxx,1,2,,iiffinx2,,1,2,,ijijffijnxx将函数f(x1,x2,…,xn)在点=(a1,a2,…,an)T处展开，有12(,,,)nfxxx12(,,,)nfaaa1()niiiXaifxa11()()2nnijiijjXaijfxaxaR其中R是余项,包含(xi-ai)的3次以上的项。当xi在ai附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1,a2,…,an)T是极大值点时，有nixffaXiaXi,,2,1,0因此，有RaxaxfaaafxxxfninjjjiiaXijnn12121))((21),,,(),,,(由于f(a1,a2,…,an)是极大值,当X在a附近变化时，省略高阶无穷小R，则有)6.1(0))((1ninjjjiiaXijaxaxf记2,,1,2,,ijijijXafhfijnxx,1,2,,iiiyxain12(,,,),TnYyyy()ijnnHh则(1.6)变为)7.1(0HYYT由于yi=xi–ai在0附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY0对所有Y均成立，即H是负定矩阵，或者说–H是正定矩阵。注：矩阵H的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2)矩阵H的顺序主子式全大于0；(3)矩阵H的特征值全大于0。(二)多元函数极值的判断定理1.1设n元函数f(x1,x2,…,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,…,an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数f(x1,x2,…,xn)在点X=(a1,a2,…,an)T处达到极大值的充分必要条件是,,,2,1,0nixffaXii且nnijhH)(是负定矩阵(海森矩阵)。定理1.2设n元函数f(x1,x2,…,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,…,an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数f(x1,x2,…,xn)在点X=(a1,a2,…,an)T处达到极小值的充分必要条件是,,,2,1,0nixffaXii且nnijhH)(是正定矩阵(海森矩阵)。§1.2.3二次多项式函数的极值函数f(x1,x2,…,xn)是二次多项式时，设矩阵AT=A，记12(,,,)TnXxxx()TfXXAXBXC注：当B=0，且C=0时，f(X)即是线性代数中的二次型。推论1.1设函数f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且AT=A。则函数f(X)在点X=(a1,a2,…,an)T处达到极大值的充分必要条件是,,,2,1,0nixffaXii且矩阵A是负定矩阵。推论1.2设函数f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且AT=A。则函数f(X)在点X=(a1,a2,…,an)T处达到极小值的充分必要条件是,,,2,1,0nixffaXii且矩阵A是正定矩阵。§1.2.2多元函数条件极值Lagrangemultiplier在一定的约束条件下求解问题的最优化解。设n元函数u=f(x1,x2,…,xn)具有3阶连续偏导数，且有m个约束条件：mnmnnbxxxgbxxxgbxxxg),,,(),,,(),,,(2122121211(一)约束条件问题(1)函数u=f(x1,x2,…,xn)的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2)要求在这m个约束条件下求解函数u=f(x1,x2,…,xn)的极大值或极小值函数u的条件极值。说明：(二)Lagrangemultiplier函数引入m个拉格朗日乘数1,2,…,m,构造新的函数—拉格朗日乘子函数：1212(,,,,,,,)nmFxxx12(,,,)nfxxx121(,,,)miiniigxxxb,,,2,1,0),,,,,,,(2121nixxxxFimn.,,2,1,0),,,,,,,(2121mjxxxFjmn(三)条件极值存在的必要条件(四)应用实例(一)一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1和v2,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水解：设点A到水面的垂直距离为AO=h1,点B到水面的垂直距离为BQ=h2,x轴沿水面过点O、Q,OQ=l。根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从A点到B点应该经过折射点P,其路径为折线APB，所需时间为：22221212()(),hxhlxTxvv0,,xl下面确定在x何值时，T(x)在[0,l]上取得最小值。当x[0,l]时，由于2222121211(),()xlxTxvvhxhlx2212332222121211()0,()hhTxvvhxhlx(0)0,T()0,Tl又T(x)在[0,l]上连续，T(x)在x(0,l)上有唯一的零点x0，且x0是T(x)在(0,l)内唯一的极小值点。设x0满足T(x)=0,即00222212102011,()xlxvvhxhlx与1联系与2联系因此，1212sinsin.vv即当点P满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。记012210sin,xhx022210sin,()lxhlx(四)应用实例(二)设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为p,销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有如下关系：)1()0,0(aMMexap其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：其中c0是只生产一台电视机的成本，k是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格p,才能使该厂获得最大利润？)2()1,0(ln0xkxkcc分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格，才能获得最大利润。解：设厂家获得的利润为u,每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x,则利润函数为u=(p-c)x(3)问题变化为在条件(1)(2)下