计量经济学-3多元线性回归模型

计量经济学第3章多元线性回归模型第一节：概念和基本假定第二节：参数的最小二乘估计第三节：最小二乘估计的基本性质第四节：模型检验第五节：预测计量经济学第一节概念和基本假定一、基本概念：设某经济变量Y与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依存关系。1.总体回归模型：niuXXXYPRFiippiii,,2,1,:22110其中0为常数项，1~P为解释变量X1~XP的系数，u为随机扰动项。总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1~XP的值时，Y的期望值：E(Y|X1，X2，…，XP)。假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：计量经济学uXβY或：nPnPPPnnnuuuXXXXXXXXXYYY2110212221212111211112.样本回归模型的SRFnieXXXYSRFiiPPiii,,2,1,:22110计量经济学二、基本假定：1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，nIuu2222222122212121212121000000000000nnnnnnnTuuuuuuuuuuuuuuuEuuuuuuE计量经济学11nX111X60~50214ji0]}][{[321222211121121212pXRankpXXXXXXXXXiXXXXXXNuuuXCovupjXuuEEuuEuuEuuCovunPnnPPPiPiiiijijjijjiiji）（）矩阵，且（为：则记：个观测值，）的第，，，）为（，，，、无多重共线。设（），（服从正态分布，、），（不相关，即）与随机扰动项，，，（、解释变量）（），（无自相关，、计量经济学第二节参数的最小二乘估计PnPnnPPXXXXXXXXXˆˆˆ10212222111211，，，如何由：一、参数的最小二乘估计计量经济学0ˆˆˆ2ˆ0ˆˆˆ2ˆ01ˆˆˆ2ˆˆˆˆˆˆˆˆ1101110111002110210））（（））（（））（（由极值的必要条件有：）（）（），，，（iPiPPiiPiiPPiiiPPiiiPPiiiiPXXXYQXXXYQXXYQXXYYYQMin计量经济学iiPPipiiPiiPiPiiPiPiiiiiiiPiPiiiiiiPiPiiYXXXXXXXYXXXXXXXYXXXXXXXYXXXnˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2221102222211202112211210122110整理得：iiPiiiiiPipiiPiiPiPiPiiiiiiPiiiiiiPiiYXYXYXYXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXn2111022122212212121121ˆˆˆˆ写成矩阵形式：计量经济学iiPiiiiinknkkknnTipiiPiiPiPiPiiiiiiPiiiiiiPiiTYXYXYXYYYYYXXXXXXXXXXXXYXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXnXX2132132133332312232221221222122121211211111容易证明：计量经济学P1021T1TTTˆˆˆBˆ)(ˆˆ)(nYYYYYXXXBYXBXX其中，也可直接对向量微分，求得结果：YXXXBBXXYXBQBXXBYXBBXYYBXYBXYeeeBQMinTTTTTTTTTTTi1T2ˆ0ˆ22ˆˆˆˆˆYˆˆˆ）（）（）（）（计量经济学YXXXBXXYXXXYXTTTTT11ˆ）（；），（，计算；，由样本值写出矩阵求多元回归的步骤：例1，某厂利润Y（百万元）主要取决于A、B两种产品的销售量X1（万吨）、X2（万吨），现有1981—1990年的数据，求该厂利润Y随A、B两种产品销售量变化的回归方程。年份1981198219831984198519861987198819891990Y13.51516.51317.51416181921X133.542.54344.556X256758578910解:设定模型为:Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui5966.09816.02991.09816.07178.10859.02991.00859.08543.1)(11855.6695.1635185.292705.29275.1655.39705.391021155.13Y106565.33111121221222121121TXXYXYXYYXXXXXXXXXXXnXXXTiiiiiTiiiiiiiiiiTT计量经济学.41.92,1;41.91,1,,9241.09141.027.6ˆ9241.09141.027.611855.6695.1635966.09816.02991.09816.07178.10859.02991.00859.08543.1)(ˆ211万元其利润增加吨万产品销量每增加万元其利润增加万吨产品销量每增加下在其他条件不变的情况表明BAXXYYXXXBiiiTT计量经济学三、最小二乘估计的性质121111ˆ30ˆEBˆˆˆ2YBˆLYBˆLBˆYBˆ线性性。1）（）（其方差为：，小二乘估计的方差最小的线性无偏估计中，最、最小方差性。在所有）（）（）（）（证：。）（即的一个线性无偏估计，是真实参数、无偏性。的线性组合。是，且是常数矩阵，则）（令，）（由证：的线性组合。是数据、XXBVarBBBLUBUXBXXXYXXXBBEBBLXXXYXXXTTTTTTTTT计量经济学PPPPTEBVarBEBBEBEBˆˆˆˆˆˆ)ˆ()ˆˆ)(ˆˆ(ˆVarBˆ11001100）（的方差：先求21100112110011001100200)ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ(PPPPPPPPPPE计量经济学p,0,1,2,j)ˆVar(:)ˆ()()(])()[())(()()()ˆˆ)(ˆˆ()ˆ(:)ˆ()ˆ,ˆ()ˆ,ˆ()ˆ,ˆ()ˆ()ˆ,ˆ()ˆ,ˆ()ˆ,ˆ()ˆ(112j212112221011010100jjijTTTTTnTTTTTTPPPPPCBVarCXXXXXXXXLLIUUELUULELLUUEBEBBEBEBVarVarCovCovCovVarCovCovCovVar有比较另一方面计量经济学0]][[][)ˆ()()(L)())((LEBˆ1121122112*1121111*****111*111*11***TTTTTTTTTTTPLLLLLLLLLLLLBVarBVarLLLUUELUULEEBBEBBEBVarIXBXBLBULXBLUXBLLYLBBVarBVarBB）（有：，）（由）（是常数矩阵）（设）（）（计算的任一线性无偏估计，是设下证最小方差性：计量经济学111T111111T111111)()(LL)()(L)(LL))((:XXLXXXXXXXXLLXXLLLLLLLLLLLLTTTTTTTTTTTTT事实上δ2的无偏估计量：11ˆ222pneepneSETi计量经济学四、模型检验（一）经济意义检验主要是检验模型参数的符号和大小是否符合经济理论。（二）统计检验1、拟合优度R2检验总的离差平方和的分解：TSS1RESSRSSˆˆˆˆ222222222YnYYYnYYYTSSRSSTSSESSYYYYYYYYYYTSSTiiiiiiiii）（计算：拟合优度：）（）（）（）（计量经济学1111111111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆ()ˆ(22222pnnRpnnTSSRSSnTSSpnRSSRRRnpYnYXBRSSTSSESSYXBYYYXBYXBYXBYYBXXBYXBBXYYYBXYBXYeeRSSTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT）（：修正的拟合优度的影响，引入对和样本容量为了消除解释变量个数计量经济学.pn1222222RRnpRRRRp较大时，相对当；相对较小时，较大，当；，当9902.079)9923.01(111)1(19923.0525.59067.59067.5911855.6695.1639241.09141.027.6ˆ525.5935.16105.273222222pnnRRTSSESSRYXBESSYnYYTSSTTT例2，对例1进行拟合优度检验计量经济学2、相关系数检验之间的相关与，考虑表示扣除变量，代表，代表用，代表，用阶偏相关就是简单相关阶偏相关。，阶，阶，阶，为变量数目的多少，可分在偏相关中，根据固定之间的关系与仅考虑如果其他变量不变，仅偏相关：。1220121i2100210XYXYXrXXYk1111112213220321320320123013212201120102102212202120201201。。。。。。。。：，则可定义二阶偏相关如果增加变量同理：rrrrrrXrrrrrrrrrrrr计量经济学例3，对例1进行偏相关检验解：YX1X10.984X20.9920.970709.0970.01992.01970.0992.0984.011970.0r992.0r984.022212202120201201120201rrrrrrr。因此，0.6660.866666.0709.0666.01210%5866.0970.01984.01970.0984.0992.0