计量经济学联立方程模型

联立方程模型单一方程模型只用一个方程描述经济变量与各解释变量之间的关系。在单一方程模型中解释变量是被解释变量变化的原因，它们之间的因果关系是单向的。然而社会经济现象是复杂的，因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一因多果，很难用单个方程完整地加以表达。联立方程模型就是由多个互相联系的单一方程组成的方程组。由于它包含的变量多，结构也较复杂，所以能全面反映经济系统的运行规律。第一节联立方程模型的基本概念一、联立方程模型的变量和方程式变量：1.内生变量，是由模型系统内决定的变量，其值在解联立方程后得到。2.外生变量，是由模型系统外部决定的变量。3.前定变量，包括外生变量和滞后内生变量。联立方程模型形式1、结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计量经济学方程系统称为结构式模型。结构式模型中的每一个方程都是结构方程，各个结构方程的参数称为结构参数。在结构方程中，一个内生变量往往表示为其他内生变量、前定变量和随机误差项的函数的形式。2、简化式模型：简化式模型是指联立方程组中每个内生变量都表示成前定变量和随机扰动项的函数所构成的模型。简化式模型可避免随机解释变量的问题。简化式模型的构造有两个途径：一是直接列出模型的简化式；二是由模型的结构式导出简化式模型。例：三方程供给需求的市场均衡模型市场均衡时，DtSttttDttttStQQYPQPPQ232111321DtSttQQQ均衡时有:变换后可得:简单起见仍写成：上述联立方程是结构式方程，其中和是内生变量，和分别为外生变量和滞后内生变量ttttttttYPQPPQ232111321ttttttttYQPPPQ232111321tQtPtY1tPttttttttYQPPPQ232111321线性变换后得到：如果引入下述记法：22212122232232221122221122322322212111111111ttttttttttPYPPYQ2221222223232232222211212222112231322321222121111,1,1,11,1,1,1ttttttuu模型就化为：这是供求模型的简化式模型。ttttttttuPYPuPYQ2123222111131211二、联立方程组模型及其假设模型的结构式一般表示为：其中，为m个内生变量；为k个前定变量。如果模型中有常数项，X1可视为始终取值为1的外生变量。mtKtgKtgmtmmtmtmtKtKtmtmtttKtKtmtmttXXYYYXXYYYXXYYY112211221212222121111111212111mYY，，1kXX,,1引入向量和矩阵记法模型可表示为：RY+βX=ε,212222111211mmmmmmR,21mtttYYYY,212222111211mKmmKKβ,21ktttXXXXmttt21ε联立方程组模型的基本假设：每个方程的随机扰动项满足单方程线性回归模型关于误差项的假设；不同方程的同期误差可以是相关的，但它们之间的协方差与时间t无关。此外，不同方程的误差项也不能有跨期相关性，即，当且必须成立。外生变量是确定性变量。mtt,,1ijjtitCov,0,jsitCovjist第二节联立方程组模型的识别一、识别的概念(1)(2)(3)由（2）、（3）方程得：由（1）、（3）方程也可得到相似的新方程。所以原结构式模型中的消费方程和投资方程都是不可识别的。tttttttttICYYIYC210110tttYC210)1(识别的定义1、从结构式参数和简化式参数的关系角度一个结构方程可以识别，是指它的全部估计系数可以从参数关系体系的方程组求解得到。若每个结构方程都可识别，则称模型可识别，否则模型就是不可识别的。结构方程可以识别又包含两种情况：如果求解结构参数唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数不唯一，则称过度识别。2、从结构方程的统计形式角度如果被识别方程具有唯一的统计形式，则这个结构方程可以识别，否则不可识别。推论：如果一个方程包含模型中所有的变量，肯定不可识别。例：简单的供给需求均衡模型供给函数需求函数也可以写成供给函数需求函数tttPQ121tttPQ221tttPQ121tttQP221模型的简化式：供求模型都不可识别。ttttttttuPuQ2212221222211111222212212111112122211112212111在需求函数中引入收入变量来说明转化为简化式模型为：tYtttttttYQPPQ2321121ttttttttttttuYYPuYYQ2222122212223222111121122221223222121111111结构式参数和简约式参数之间存在下列四个关系式：而结构式参数却有五个。所以存在不可识别问题。但因为所以供给函数可识别，需求函数无法识别。22223212221112223211221211,11,122112223223211在供给函数中再引入一个变量其简化式模型为：两个模型都可识别。1tPttttttttYQPPPQ232111321ttttttttuPΠYΠΠPuPΠYΠΠQ21232221111312112223232232222211212231322321222121111,1,11,1,1在供给模型中再引入一个解释变量，模型的结构式为：简化式模型为：tTtttttttttYQPTPPQ2321141321tttttttttuTPYPuTPYQ22412322211141131211222424222323223222221121224142231322321222121111,1,1,11,1,1,12224222414242223222313231111142421323需求模型参数有解，但不唯一，所以属于属于过度识别。二、模型识别的阶条件和秩条件为了了解阶条件和秩条件，引入以下符号：M：模型中内生变量的个数m：给定方程中内生变量的个数K：模型中前定变量的个数k：给定方程中前定变量的个数1、可识别的阶条件（必要条件）有两个等价的叙述：A、在一个含有M个联立方程的模型中，为了使一个方程能被识别，它必须排除至少M-1个在模型中出现的变量（内生或前定）。如果恰好排除M-1个变量，则该方程是恰好识别的，如果它排除多于M-1个变量，则它是过度识别的。B、在一个含有M个联立方程的模型中，为了使一个方程能被识别，该方程所排除的前定变量的个数必须不少于它所包含的内生变量的个数减1，即：K-km-1。如果K-k=m-1，则方程是恰好识别的；如果K-km-1，则它是过度识别的。2、可识别的秩条件（充分必要条件）在一个含M个内生变量的M个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当能从模型（其它方程）所含而该方程所不含的诸变量（内生或前定）的系数矩阵中构造出一个（M-1）*（M-1）阶的非零行列式。例：下述宏观经济模型的识别性问题tttttttttttttttGICYYTrYITYC,,,310221101210变形为：0,,,310221101210tttttttttttttttGICYYTrYITYC恒等方程无识别问题，因为无未知参数。讨论第一个方程的识别性。根据阶条件的两个等价条件，可知第一个方程是过度识别的。考虑秩条件：第一个方程未出现的变量有：，其余三个方程中这四个变量的系数矩阵为：ttttGiYI11001000001211SttttGiYI显然，无法构造出一个3*3阶非零矩阵，故第一个方程不可识别。第三节联立方程模型的参数估计一、最小二乘估计对联立方程组模型进行最小二乘估计必须考虑其适用性：通常至少部分方程存在模型内生变量作为解释变量的情况，而内生变量都是随机变量，各个内生变量之间通常有不同程度的交互决定现象，所以作为解释变量的内生变量往往与误差项有较强的相关性，所以大多数联立方程组模型都不能直接用最小二乘法估计参数。例外：(1)无内生解释变量的方程；(2)递归模型tttttttttttttttXXYYYXXYYXXY323213123213132222121121212121111,,二、间接最小二乘估计（恰好识别模型的估计）（一）思路如果方程是恰好可识别的，通过变换把模型化为各个内生变量决定于前定变量的简化式，那么结构式的参数与简化式的参数有一一对应关系。由于简化式不存在内生解释变量问题，所以最小二乘估计是有效的。再利用简化式的参数估计解出结构式参数。这种估计方法称“间接最小二乘估计法”（二）简单的例子简单的两方程宏观经济模型ttttttICYYC其简化式模型：ttttttttttuIΠIYuIΠIC211111111第一个方程的最小二乘估计为tttttIICΠ21ˆ根据：tttttIICΠ21ˆˆ1ˆ得间接最小二乘估计ttttttttttttttIYICICIIC2ˆ普通最小二乘估计tttttYIC2ˆ三、工具变量法工具变量法的基本思想是利用适当的工具变量去替代结构方程中作为解释变量的内生变量，以减少解释变量与随机扰动项的相关性，从而可以用OLS法估计参数。工具变量的选择要求：一是选择的工具变量与替代的内生解释变量高度相关；二是选择的工具变量与随机扰动项不相关。工具变量一般在模型的前定变量中寻找。工具变量的局限：（１）工具变量法是恰好识别方程的一种有效估计方法，对过度识别方程不适用；（２）找到既与某个内生变量高度相关又与随机扰动项无关的前定变量是困难的。四、两阶段最小二乘法（TSLS）—过度识别模型的估计TSLS法是由Theil和Baseman分别于1953年和1957年各自独立提出的一种联立方程模型中单一方程估计方法。TSLS的目的是尽可能地消除联立方程模型中存在的联立偏倚问题。其基本方法可归纳为：（1）