财务管理 - 财务统计

1財務統計傅承德中央研究院統計科學研究所1.前言在金融市場上的理論探討與實務操作中，我們經常會碰到下列的問題：—金融市場在不確定(uncertain)的情況下，是如何運作？—資產(asset)的價格是如何訂定，以及它隨著時間的走勢又是如何？—資產未來的價格是否為可預測的(predictable)？—在制定某種財務管理政策之後，其風險(risk)為何？為了回答上述的問題，我們介紹一些基本的概念與理論。在描述某一種資產價格的走勢及其衍生性金融商品(derivatives)的定價時，我們採用“市場無套利(noarbitrage)”的觀點。從數學的角度來說，此一經濟假設是表示“存在一無風險機率測度(riskneutralprobabilitymeasure)，並且其經折現後的價格走勢(discountedprices)相對此一測度為一平賭過程(martingale)”。如此一來，我們即可利用隨機微積分(stochasticcalculus)來對衍生性金融商品(尤其是選擇權(option))制定其價格。本文的主要目的，就是將上面那句話做一個簡易的介紹。全文共分5節。在第2節中，我們介紹市場價格報酬率(return)的隨機漫步(randomwalk)假說，並舉台積電的股價為例，對此一假設做進一步說明。第3節介紹效率市場(efficientmarket)的基本概念，及其相對應的統計模型。第4節介紹歐式選擇權(Europeanoption)及其定價公式，並與傳統(大一)微積分做一簡單的類比。第5節是結論，我們敘述一些較深入的課題。2.隨機漫步假說在30年代，一些統計學家諸如：Cowles(1933),Working(1934),及Cowles和Jones(1937)，對一些財務資料做了實證分析，而試著去回答下列問題：價格的走勢是否為可預測的？在這些論文中，作者們經由對大量數據的統計分析，進而發現一個有趣並且出人意料的結果；即1lnnnnSSR,其中nS表示在時間n時的價格,,1n(2.1)為一“獨立”的序列。但因為此結果與一般大眾認為價格可經由節奏性(rhythms)、週期性(cycles)、趨勢性(trends)等現象，而可預測的直觀相異，故並未引起廣泛的注意。經過一段時間的沈寂之後，在50年代初，Kendall(1953)在英國皇家統計學會(RoyalStatisticalSociety)上發表一篇重要的文章，因而開啟了近代財務統計的里程碑。Kendall教授原本想要經由對股票及商品價格的分析，找出其週期性。但在分析實際資料後(1928-1938期間，19種上市股票的週資料；1883-1934期間，芝加哥市場小麥的月平均價格；1816-1951期間，紐約交換市場棉花的價格)，出乎意料之外，他發現的是這些價2格並沒有任何節奏性、週期性或趨勢性。進而他得到的結論是“…thedemonofchancedrewarandomnumber…andaddedittothecurrentpricetodeterminethenext…price”。換言之，1lnnnnSSR的行為像是一隨機漫步(randomwalk)。然而從歷史的角度來看，法國天才數學家Bachelier(1900)才是第一位利用隨機漫步去描述價格走勢的學者。他假設價格)()()(kSS(注意他並未對nS做對數轉換)在瞬間,2,的表現為kkSS20)(,(2.2)其中0S為初始價格，)(i為獨立同分佈的隨機變數，且取值在及的機率各為21。因此,)(E0)(SSk)()(Var2)(kSk.(2.3)令tk,0t以及讓0,Bachelier發現(2.2)的極限過程為,)(0ttSS其中)(0limttSS(注意此極限是在某特定的機率意義下)，且有下列表示式：ttWSS0,(2.4)其中)(tWW,0t(t20E,0E,0)為標準布朗運動(standardBrownianmotion)或稱為Wiener過程。此為最早描述價格的模型，雖然其數學性質簡單，但它的缺點為價格可能為負值而與實際狀況不相符。以下我們用台積電股價的例子來做進一步的說明。在圖2.1中，我們將台積電在民國83年9月上市至民國90年12月之每月月底的收盤股價記錄並畫出它的折線圖(資料來源：台灣新報—B&T國內TOP3000大企業資料庫)，這是財務上描述資產最典型的資料圖。我們發現台積電的股價高低的起伏變化相當大，如果在不對的時間點進行買賣，將會損失很多資金。而從圖中可看出不可預測性(unpredictability)似乎是財務模型的重要特徵。更何況我們關心的並不是股價的高低，而是報酬率的大小。若以iS表示第i月的股價，則第i至i+1個月的報酬率可表成iiiiRSSS1或iiiRSS1ln(2.5)兩種形式(注意在(2.5)中，前式為後式)1ln(x在1x的一次泰勒展式)。在表2.2中，我們計算出台積電股價的月報酬率，並將其描繪在圖2.3上。由圖觀之，這些資料恰似一些雜訊(noise)，問題是我們要如何去建立統計模型呢？3台積電股價(月)05010015020025083年9月30日84年7月30日85年5月30日86年3月30日87年1月30日87年11月3088年9月30日89年7月30日90年5月30日元/張圖2.1民國83年9月至90年12月，台積電每月收盤股價表2.2台積電股價資產報酬率4台積電報酬率-0.8-0.6-0.4-0.200.20.483/9/2385/2/586/6/1987/11/189/3/1590/7/28圖2.3台積電股價每月報酬率然而經由標準化後(即數據減去其樣本平均後再除以其樣本標準差)，如圖2.4，我們可用一標準常態分佈(其機率密度函數為2/221)(xex)去描述RiSRR，其中,11MiiRMRMiiRRRMS12)(11,(2.6)M為樣本個數。-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.80.000.050.100.150.200.250.30Return圖2.4台積電報酬率直方圖與標準化常態分佈5即1lniiiSSRmean+standarddeviation(2.7)kk.如同(2.3)和(2.4)，令tk,0t以及讓0。我們可得tWtteSS)21(02,(2.8)其中)(tWW,0t,為一標準布朗運動。此即Samuelson(1965)所提出的幾何(或稱經濟)布朗運動(geometricBrownianmotion)。我們可將方程式(2.8)看作資產價格的隨機漫步模型，如圖2.5，我們知道現今的資產價格，但不知道下一期的資產價格，而只知道資產價格是按照(2.8)式所產生出來的。圖2.5股價的隨機漫步模型3.金融市場的效率性3.1有效性的意義很少有人懷疑“價格是由需求和供給所決定的”這一個經濟的基本想法。在證券市場上，這個現象每時每刻都在發生。任何一種單一股票的K線圖，說明的都是成交價(以及成交量)的變化情形。設有一個理想市場，它滿足以下三個條件:(a)所有的資訊是公開而免費的；(b)所有的投資人都是好分析師；(c)所有的投資人都密切注意股價並隨時適當地調節所持的證券。如此在任何時間，該證券就應該準確地反應出它的實質價值。因此成交價同時也是證券6的正確價位。投資分析的主要工作，就是找出某些證券的真實價位。而證券目前的價格高於它的真實價格，該出售；反之，則應該買入。但是若(a)(b)(c)三條件都滿足，則任何時間證券的價格既不會太高，也不會太低，因此投資人無法找出有利的投資機會，這就叫做一個具有效率性的市場(efficientmarket)。在一個效率市場裡，平均來說，投資人，不論是散戶還是專業財務經理人，都不能保證獲利。從數學的眼光看來，在“效率性”的假定之下，我們可以導出一些結果。因為“效率性”這個概念是可以用數學來建構的。其中最簡單的描述就是第2節所介紹的隨機漫步模型。當然，願意將資金投入市場以追求利潤的人，基本上都不相信市場是具有效率性的。否則，不論他們多麼聰明努力，長期下來，都不會賺得超過預期的報酬。而在投資市場上能否獲利，基本上只靠一件事情：預測的準確與否。這一方面，財務分析者可分為兩大類：(a)技術分析，(b)基本分析。前者以研判諸如K線或相關的波浪理論為主，後者則側重於公司基本面的判斷。對於一個成熟的或接近成熟的證券市場而言，即使這個市場還不算具有效率性，但也不會相去太遠，因此不論多麼高明的財務分析，其預測的精度，都不可能高明到那裡。基金經理人的表現不如大盤者，比比皆是。而長期能維持20%的投資報酬率的情形，也不太多。但這個市場看似有太多的獲利機會在內，所以仍然是現代人最愛爭逐的園地。真正的長期利潤，是來自經濟活動本身的成長(即後文(3.2)式中之0)。直觀上，技術高明的玩家似乎可能分到較大的一塊餅。但是我們認為技術高明的人士，往往只因他們是贏家—因為他們是贏家，才被看成技術高明。而我們其實並不知道他們根據甚麼理論勝過市場。市場的效率性，可分為弱式、半強式、和強式三種形式。用簡單的話來說，具效率性的市場，就是沒有“白吃的午餐”的市場。但要將這件事說箇明白，卻也不是易事，因其觀點不止一種，用數學表現出來的時候，也有不同的形式，並且它們雖不見得互相衝突，但也不是完全一樣。至於再談到以資料驗證，想法更是不一，而傳統上，“市場是否具有效率性”一直是一個被相當詳細研究的課題。市場的效率性這一概念起源於本世紀初法國數學家Bachelier的研究，他的貢獻是很大的，但是他的工作直到近20年才日益被人認識到。在第2節中，我們提到他是首次利用布朗運動模型來描述股票價格的學者，而市場有效性的起源也是在那個時候。但考慮市場有效性與信息(information)的相聯繫，卻是近幾十年來的發展。Fama(l970)指出價格完全反映了可以使用的信息時，這個市場才能稱為是具有效率性的。但怎樣用數學的語言來反映這一概念，是值得深入探討的課題。用tS表示某一證券在時刻t的價格，時刻t的信息集記為t，於是tS可以認為是基於信息t的條件期望，即用*V表示基價，若st，那麼應該有}|{E*ttVSa.s.(3.1)由於s的信息比t不會少，即st。數學上，我們很容易將]},0[,{Ttt想成7“信息流程(informationflow)”。容易看出，(3.l)所表現的，不過是說]},0[,,{TtStt構成一個平賭過程(martingale)而已。平賭過程，是指(i)對所有的],0[Tt，t都是-域(-field)；(ii)若ts，則st；(iii)tS是t-可測函數；(iv))|(EtstSSa.s.ts。其中(iv)所表現的意思是，在時間點t，當你知道一切到達時間t為止的資訊時，你對未來的期望，和目前一樣。如果把tS，當作你在時間t的某一種賭博資金的全部，則(iv)表示，你對任何的未來時間點ts而言，你所期望的所有資金，和目前完全一樣。不難自(3.1)導出(iv)。但是在這樣做的時候，你需要知道甚麼叫做已知某-域時的條件期望值)|(E1S。這基本上需要懂較深的機率論才行，我們在此就略過不講。因為t代表到時間t為止的所有資訊，前述三種形式的效率市場，就導致現有文獻中常用的有效市場的三種類型：弱式(weakform)的效率市場：信息集是指證券自己過去歷史中的價格和收益。半強式(semi-strongform)的效率市場：信息集是指市場參與者都知道的信息(公共信息)。強式(strongform)的效率市場：信息集是指市場參與者所有的信息(包含私人內線信息)。為了要檢驗市場的效率性，必須將上述這三種定義進行相應的數學描述。從上面的定義可以看出，能夠檢驗的