基于渗漏模型的城市排水系统建模与分析-第21届中国过程控

第21届中国过程控制会议论文，中国杭州，2010年8月基于渗漏模型的城市排水系统建模与分析1金波1王建中1鲁仁全11（杭州电子科技大学自动化学院浙江杭州310018）（E-mail:[e-mail],[e-mail],[e-mail]）摘要：本文结合传统圣维南方程组，考虑城市排水系统管网发生渗漏这一不确定因素，首先通过对城市排水系统中某段管道进行分析，通过计算得出改进后的连续性方程和动量方程。进一步建立以流量为状态的城市排水系统水力学状态空间模型，设计状态反馈控制器，并通过仿真验证了所提出方法的正确性。关键词：圣维南方程组，渗漏，状态空间模型，状态反馈控制器ModelingandAnalysisofUrbanDrainageSystemBasedontheLeakageModelJinBo1WangJianzhong1LuRenquan11(SchoolofAutomation,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang,310018)(E-mail:[e-mail],[e-mail],[e-mail])Abstract:Thispapertakestheleakageinsidethesewer’spipelineinurbandrainagesystemintoaccount.First,comparedwiththetraditionalSaint-Venantequations,theimprovedcontinuityandmomentumequationsareestablishedthroughtheanalysisofcertainpipelineinurbandrainagesystem.Further,thestate-spacemodelofthehydraulicsisestablishedtodescribetheflowinsidethesewer’spipeline,andtheflowisthestatevariable,StateFeedbackControllerisdesigned.Finally,thesimulationexampleisgiventovalidatethedesignmethod.KeywordsSaint-Venantequations,Leakage,Statespacemodel,StateFeedbackController1引言圣维南方程组（Saint-Venantequations）是描述城市排水系统管网中管道内非恒定水流运动规律的一阶拟线性双曲线偏微分方程组，由反映质量守恒律的连续方程和反映动量守恒律的运动方程组成。它的提出基于三个基本假设：①流速沿整个过水断面均匀分布（可用平均值代替）。不考虑水流垂直方向的交换和垂直加速度,从而可假设水压力呈静水压力分布,即与水深成正比；②管网坡度比较小，其倾角的正切与正弦值近似相等；③水流为渐变流动，水面曲线近似水平。传统圣维南方程组的提出基于管网内均匀非恒定流的模型，在给定初始和边界条件的情况下，可以通过解方程组计算出管网中水流的流量和水深以及其随时间的变化，及实现对污水溢出昀小化的控制等[1]。但它不适用于管网发生不确定因素的情况，如淤堵和渗漏等。本文结合传统圣维南方程，以排水系统中两节点间的一段管道进行为研究对象，分析管道内发生渗漏时的水流运动状态。通过计算给出改进圣维南方程组的形式，并结合目前我国排水系统管网的实际情况，给出方程组线性化后状态空间的形式，分析系统稳定性，并设计系统H∞状态反馈控制器。2水力学状态空间模型推导2.1基于渗漏模型的改进圣维南方程组根据对杭州市城市排水管网水力学建模的研究，在某段管道底部发生渗漏的情况下，我1本文被国家基金(编号：60874058)、浙江省自然科学基金(编号：Y106471)资助第21届中国过程控制会议论文，中国杭州，2010年8月们可以得知该段管网内水力学模型与如下因素有关：过水断面的污水流量，垂直于水流方向的过水断面面积，水流方向的距离，重力加速度，断面水深，地面坡度，摩阻坡度及渗漏等主要因素。本文选取城市排水污水管网系统中两个节点间一段管道为建模对象（如下图1所示）：h/QQxdx+∂∂QqeeAVρdxfSθ图1城市排水系统管网中某段管道如上图1所示，对排水系统管网中某一小段管道dx行分析，流入dx量为Q管道旁侧平均流入流量为q，eA为发生渗漏管道处水流断面平均面积，且eA大存在不确定性，h为垂直于水流方向的断面水深。进流，小ρ为道内水流平均密度，则流入断面水流总质量为(管)Qqdxρ+。)流出dx的水流总质量为(/段QQxdxρ+∂∂（其中Qx/∂∂管道内污水流量在x方向的变化率）。dx管道内污水总量为Adx则污水总量随时间的变化率为段,()/Adxtρ∂∂。管道内发生渗漏损失的污水总量为eeAVρ（为渗漏水流速度，eV2eV=gh[2]），沿x方向水流质量损失的变化率为()/xeeAVρ∂∂。则由质量守恒定律可得：()(/)()/()/eeQqdxQQxdxAdxtAVxdxρρρρ+=+∂∂+∂∂+∂∂消去dxρ，并进行化简可得///eeQxAtAVxq∂∂+∂∂+∂∂=(1)管网内水流的动量方程由牛顿第二定律推得，即：流进断面内的动量＋作用于断面的外力的冲量＝断面内动量的增量[3]。1)、流进断面内的动量：在时间内，由上一段管网内流进断面的动量为tΔdxxQVtρΔ。流进下一断面的水流动量为(/xxQVQVxdxt)ρ+∂∂Δ,可知流入和流出的动量差为(/)xQVxdxtρ−∂∂Δ。旁侧流入动量为()xqvdxtρΔ()，发生渗漏时水流损失动量为。则流进断面总动量为2()eeAVdxtρΔ(/)()()eeQVxdxtqvdxtAVdxtρρρ2−xx∂∂Δ+Δ−Δ(其中xV为管网内水流平均流速，v为旁侧流水流速度)。x2)、作用于断面的外力的冲量：作用与断面外的外力为重力、摩擦力、及涡流耗散斜坡等，断面内控制体的体积为Adxρ，则其作用与水流方向的分量为sinAdxρθ，由于管道坡度很小，近似的认为其在水流方向分量为0AdxSρ，作用与断面内的水体压力为(/)gAhxdx∂∂0)gASSt，同理，可以得到作用与断面的冲量为(/feShxdxρρ−−−∂∂Δ0S(其中表示地面坡度,表示涡流耗散斜坡,eSfStΔ(/)Qtdx表示摩阻坡度)。tρ∂∂3)、断面内动量的增量：在时间内，断面内动量的增加量为Δ0(/)(/)QtdxtgAShxdxt。由以上可得：feSSρρ∂∂Δ=−∂∂Δ−−2(/)()()xxeeQVxdxtqvdxtAVdxtρρρ−∂∂Δ+Δ−ΔxQAV由于管网内水流流量和速度满足=，将其带入上式，同时约去两端相同的公因子dxtρΔ220/(/)/(/)()/0fexeeQtQAxgAhxSSSqvAVxβ∂∂+∂∂+∂∂−++−+∂∂=，用进行化简整理可得：第21届中国过程控制会议论文，中国杭州，2010年8月忽略其中涡流耗散斜坡和旁侧流影响，带入2eV=gh00，可得：20/(/)/(2)/()efQtQAxgAgAhxgASS∂∂+∂∂++∂∂+−=(2)综上可得，基于渗漏模型的圣维南方程组形式为：20////(/)/(2)/()eeefQxAtAVxqQtQAxgAgAhxgASS∂∂+∂∂+∂∂=⎧⎪⎨∂∂+∂∂++∂∂+−=⎪⎩(3)2.2状态空间模型城市排水系统中集水区数据很难获取，本文通过/hx∂∂代替集水区信息，在实际分析中把它作为控制变量。假设不考虑管内淤堵，每段管道具有昀大的排水能力，由于国内排水管道管径大小恒定，我们可以得到/0At∂∂=（A为常值）。另外，由于管道的均匀、规则，通过推理运算[4]，可以得到：(,)Qxt∂(,)iilQxtxλ=∂(4)其中iλ为已知的流量损耗系数，为管道分段后每段的长度。将(6)式带入(5)式，令：ilx()(,)(,)()()/ee0()()ftQxthxtutx=ytqStAVxvtS∂=∂=−∂∂()=−x其中t()yt()表示过水断面污水流量，表示代表集水区信息的控制变量，表示污水储量增加量，vt表示未知扰动，并经过化简整理可得：()ut2()iilxtx()(2)()()()e2()iitgAAutgAvtytlλ=−−+−⎪⎨⎪=λ⎧Axt(5)⎩0x0x在式(5)中使用泰勒公式在初始态(表示系统初始状态下过水断面的污水流量)处对2()xt00()()()()进行线性化，并整理可得改进圣维南方程组的状态空间形式如下：x1()()()tAxtBBut=++Δ⎧⎨()Bwt+(6)ytCxt=⎩x上式中t()wt为表示过水断面的污水流量系统的状态变量，为反应集水区信息的控制量，为测量干扰，式中：()ut0,,2,,2iieiilx001λABgABgABClgAλA=−=−Δ=−=−=3状态反馈控制器设计由于渗漏管道处水流平均截面积具有不确定性，即系统(6)中BΔ为适当维数的不确定参数矩阵。在系统分析过程中，令()BMFtNΔ=，式中M，N为适当维数的已知矩阵，Ft为不确定函数阵，且对于任意t满足()()()TFtFtI≤。本文的目的是设计状态反馈控制器：()(),mnutKxtKR×=∈w(7)y的传递函数满足：使系统(8)渐近稳定从到1001||||||[()]||,(0)ywTCSIABKBKBγγ−∞∞=−++Δ常数()()ccCSIAD(8)引理1[5]：(界实定理第三形式)设闭环系统传递函数形式为Gs=−+，则第21届中国过程控制会议论文，中国杭州，2010年8月cA为稳定阵且||()||Gsγ∞的充分必要条件是||||Dγ和Riccati不等式方程1111()()0TTTTcccABDABDDCPBDBPCIDDDC−−−−++++()TTccDCPP++0c有正定解，其中P2TDIDγ=−D。3.1系统稳定性分析定理1：对于不确定系统(6)，存在适当维数的对称正定矩阵P，适当维数的矩阵K，使得对所有允许的不确定性BΔ，满足：200()()0TTTABKBKPPABKBKPBBPCCγ++Δ+++Δ++(9)0011时，系统渐进稳定。证明：由系统(6)和反馈控制器(7)构成的闭环系统为：001()(()()())()xtAwtytCxt=+⎧⎨=⎩()0=(())()()TVxtxtPxt=TTBKBKxtB+Δ+(10)在时，选取Lyapunov函数为：，则由公式(9)可以得到：wt0000211()()()()()[()()]()()TTTTtPxtxtPxt(())VxtxxtABKBKPPABKBKxtPBBPCCγ++Δ+++Δ−+(())0t=+=所以：Vx。因此系统(6)是渐近稳定的。3.2基于LMI的状态反馈控制器设计定理1给出了系统(6)状态反馈鲁棒控制器存在的一个条件，，但该条件含有不确定性，无法应用，下面定理2用线性矩阵不等式的方法给出了定理有解得充分必要条件及状态反馈控制器的设计方法。引理2[5]：设,,,XYEF0是具有适当维数的实矩阵，则对任何常数ε1TTTT，有下面的结论成立：XYYXXXYYεε−+≤+H定理2：对于本文系统(6)存在一个状态反馈∞控制器使得闭环系统(10)是渐进稳定的，且满足性能指标(8),当且仅当存在正定阵和矩阵Y，存在标量0X0λ使得下面不等式成立：001()())0000TTTAXBYYBXCMIλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∗∗∗∗−⎣⎦1KYX00AXB+(NY200IIγ−∗−∗∗−10Iλ−⎢⎥∗∗∗−⎢⎥(11)−=H是系统(6)的一个状态反馈∞控制器。进一步，如果上式有解，则证明：对于本文系统(6)和状态反馈控制器(7)所构成系统(10)001,,,0ccAABKBKBBCCD=++Δ===0P20