高级宏观经济增长

经济增长张涛[e-mail]一、新古典增长理论（简介）新古典增长（资本劳动替代性），假定储蓄率给定。拉姆齐－卡斯－库普曼斯增长模型，家庭最优化行为、内生储蓄。1．生产函数(,)YFKL………………...…………………1-1满足：1.边际收益递减2.一次齐次(,)(/,1)()YFKLLFKLLfk……………………………1-2/()yYLfk…………………………………………………….1-3/'()YKfk,/()'()YLfkkfk3.Inada条件(0,)(,0)KLFLFK，(,)(,)0KLFLFK'(0)f，'()0f……………………………………1-42．资本积累条件.(,)KIKsFKLK………….1-5或者写为人均的形式./()KLsfkk………………………...1-6我们有：..(/)/()()kdKLKLnksfknk….…………..1-7()nk()fk()sfk*kcGrossInvestment图1－1Solow-Swan模型3．稳态在稳态中，.0k这是由于在稳态中有./()()kksfkkn常数／，因此有.[()]/0{[()'()]/}(/)0dfkkdtfkkfkkkk／必然有.0k，因此.**0()()ksfknk…………………1-84．资本积累的黄金律与动态无效从()()sfknk，可以将消费C写为***()[()]()()csfksnks，使消费最大化的储蓄率为黄金律，因此*'[()]()goldfksn图1.2资本积累的黄金律sgoldsgoldc*c图1－3表示了当储蓄率（2s）大于和小于（1s）黄金率（golds）的情况，以及大于黄金率的储蓄率下降后，增加均衡时的消费，以及过度路径上的消费，资本逐渐减少。当goldss，称经济动态无效（DynamicEfficiency，DE），因为人均消费一直低于可以达到的路径。goldc*2kkgoldk*1kc*2c()nk()goldsfk2()sfk1()sfk储蓄率下降，消费的增加图1－3黄金率与动态无效斜率为nDI()fk5．过渡动态资本增长率为：()/()ksfkkn………………………………1-90lim[()/]ksfkk，lim[()/]0ksfkk，且()/sfkk单调，因此与n曲线有唯一的交点。图1－4反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。一个较大的储蓄带来更多的资本积累。或者由..()()()/'()()ksfknkdkdksfkn来进行判别（袁志刚和宋铮，2001）6．相对收敛、绝对收敛定义，对稳态的依赖（不同的储蓄率）。由1－8得**()/()snkfk………………………….1-10将1－10代入到1－9得：**()/()[1]()/kfkknfkk……………………1-11因此依赖于目前的资本平均产品与稳态中的情况，当*kk，0k图1－4，条件收敛（不同的稳态，来自于不同的储蓄率）二、拉姆齐模型与最优经济增长新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数。这归功于Ramsey(1928)，Cass（1965）和Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗－斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。注：本讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），Barro和Sala-I-Martin（1995），Zilibotti的讲义1．效用函数拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。1.假定劳动力tL增长率为n，初始数正规化为1，因而有：nttLe…………….…2-12.假定tC是t期的总消费，因此人均消费为c(t)C(t)/L(t)。家庭效用函数为：(n)t0t0Uu(c)edt………………………….………….2-2(其中为主观贴现率，u'(0)，u'()0。并根据横截条件假定n，以保证当c为常数时，0U是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。)3.假定存在两种资产，资本和债权，在没有风险、资本市场完全竞争情况下收益率都为tr。同时存在竞争的劳动力市场，工资为tw。假定总资产为tA，平均净资产为tttaA/L，资产收益为ttra。因此家庭的预算约束为：.tttttawracna………….2-32．非蓬齐对策条件（意义）tv0(rn)dvtt[ae]0lim……………………….2-4这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于trn，因此总债务的增长速度不能超过tr。我们定义ttv01rrdvt，因此2－4又可被写为tt(rn)t[a(t)e]0lim………………………2-4’3．汉密尔顿函数与一阶条件家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化0U。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式：(n)Hu(x)e[w(rn)ac]…………..……………..2-5其中是资产的影子价格。一阶条件为：(n)tH0u'(c)ec……………………………………….2-6..H(rn)a………………………………………..2-7tttlim[a]0……………………………………………………………2-8其中2－7是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8是横截条件现在我们来求出最优的消费变化。2－6两边对时间求导得：..(n)(n)tu''(c)ce(n)u'(c)e……………………..2-9由2－6，知(n)te/u'(c)，代入到2－9并将2－7代入2－9，得：.u''(c)ccr[]()u'(c)c…………………………….……………….2-10其中u''(c)cu'(c)为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性：stst1ststc/cd[u'(c)/u'(c)][]u'(c)/u'(c)d(c/c)…………………….2-11跨期替代弹性是stc/c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当st时，u'(c)cu''(c)，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。跨期替代弹性实际上反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在tt1u'(c)1ru'(c)1，是贴现率，r取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为1t1tc(1r)[]c(1)，1/。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES）1c1u(c)1，(0)；……………………………….………2-13u(c)logc，(1)显然是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性1/。式2－12变为.crc………………………………………………………2-14对2－7积分得：tt(rn)(t)(0)e，(0)0…………………………………..2-15因此2－8变为tt(rn)ttlim[ae]0…………………………………………………2-16即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。当ta0（负债），一个无限期的家庭希望通过不停的借债但不偿还，来违反2－16，因此2－4就是为了确保这种链式融资的不发生。在均衡状态，根据横截条件2－16，一个家庭不愿持有超过或等于trn的资产增长，否则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过trn的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过trn的债务。因此2－4是信贷市场均衡的结果。4．消费由.(rn)t(rn)t(rn)td[ae]/dtaea(rn)e，将.tttta(rn)awc两边同乘(rn)te得：TTT(rtn)t(rtn)t(rtn)tttt000(d[ae]/dt)dtwedtcedt，也即：TT(rtn)T(rtn)t(rtn)tTtt00aecedtwedta(0)…………………...2-17当T，由2－16，可得~(rtn)t(rtn)ttt00cedtwedta(0)w(0)a(0)W……………….2-18由2－14可得t(1/)[r]tt0cce……………………………………………………………2-19将2－19代入到2－18得；[rt(1)//n]t0c(0)W/(edt)………………………………………….2-205．厂商设生产函数为：^ttttttYF(K,AL)F(K,L)(其中tA(t)e，^tttLAL)…………………2-21写成人均的形式为：^^^^tttttYLyLf(k)(其中^ttttf(k)F(K/AL,1))……………………………2-22具有下列关系(固定L，Y对K求导；固定K，Y对L求导)：^ttYf'(k)K，^^^ttttttY[f(k)kf'(k)]eL………………………2-23并满足Inada条件：f(0)0，f'(0)，f'()0.厂商的利润函数为：^^^ttttttttL[F(K,L)Rkwe]………………………2-24其中tR是厂商向居民租赁资本的租金，ttRr。给定^tL，由利润最大化的一阶条件得到：^ttf'(k)r………………………………………………2-25为了维持零利润，将2－25代入2－24，有^^^ttttt[f(k)kf'(k)]ew………………………………2-266．均衡1.定义^tcce，因此^.^^.tttttf'(k)(c)/(c)c/c………………………………..2-272.在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此ttak。跨期预算约束可以写为.tttttkwrkcnk……………………………………………2-28因为^tttkke，所以.^^^tttttkwe(rn)kc…………………………………2-29将2－25和2－26代入2－29，得.^^^^ttttkf(k)(n)kc…………………………………2-303.利用^ttkke，^ttf'(k)r，以及2－16，TVC条件变为^tv0^(f'(k)n)dvtlim[ke]0………………………………….2-312－27和2－30构成在^^t(c,k)上的动态系统。4.在稳态中，有.^^tt(c)/(c)0，.^^tt(k)/(k)0，因此^tf'(k)……………………………………………….2-32^^^tttcf(k)(n)k………………………………………2-33^0'c^0c^0''c^0k^*k^goldk^**k.^0k.^0c^c^k图1－2拉姆齐模型中的相位图DDB稳态中的消费、投资人均增长率等于。2－32，2－33刻画的稳态需要满足TVC，因此2－31中，^**rf'(k)n，即稳态中的资本回报率大于增长率。从2－32可知n(1)………………………………………….2-34由3－33可知消费在^tf'(k)n………………………………………2-35