第5章 投资组合的选择

第5章投资组合的选择首先来看掷硬币打赌问题。假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?我们可以几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。可能一：全部押上你的资金可能二：每次下注10元可能三：每次将你的所有资金的10%用来下注可能四：每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注前面的打赌中，硬币只有一个。如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同??正相关，或相反－－反相关)，又如何确定最优下注比例？资产组合的涵义资产组合：投资者在金融市场的投资活动中，根据自己的风险收益偏好所选择的适合自己的几种金融工具的集合。权重：投资者选中的每种资产占全部组合的比例。投资组合的功能：风险与收益的平衡：投资者根据自己的对风险-收益偏好构建投资组合。降低投资的风险套期保值：具有相互抵消风险的功能多样化：不要将鸡蛋放在同一个篮子里。121in资产组合的计算雨较多的年份少雨年份股市的牛市股市的熊市伞需求大减概率0.40.30.3收益率30%12%-20%E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04σ=431.041/2=20.76或20.76%资产组合的方差投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券投资者的整个资产组合的期望收益率为E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%资产组合的标准差为σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38%冷饮的收益与风险雨较多的年份少雨年份股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增概率0.40.30.3收益率4%-10%30%冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64%，标准差为15.77%。互补组合的收益与风险雨较多的年份少雨年份股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增概率0.40.30.3收益率17%1%5%新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。资产组合期望收益标准差全部投资于伞公司股票9.6%20.76%一半伞股票一半国库券6.3%10.38%一半伞股票一半冷饮股票8.6%7.03%协方差的计算测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。协方差的计算公式为Cov(r伞,r冷饮)=∑Pr(s)[r伞(s)-E(r伞)][r冷饮(s)-E(r冷饮)]Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96相关系数的计算相关系数范围在－1和+1之间，与协方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。(伞，冷饮)=[Cov(r伞,r冷饮)]/(伞冷饮)=-240.96/(20.7615.77)=-0.736另一种计算资产组合方差的公式为P2=w1212+w2222+2w1w2Cov(r1,r2)2=(0.5220.762)+(0.5215.772)+[20.50.5(-240.96)]=49.43＝7.03%这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。以下所列的是IBM股票在1969~1978年这l0年间的年回报率，计算平均年回报率和回报率的标准差。并计算IBM股票回报率和标准普尔500指数(S&P500)回报率的协方差和相关系数。年回报率(%)年回报率(%)IBM标准普尔500IBM标准普尔500196916.98-8.501974-30.01-26.481970-11.364.01197537.6837.2019717.6414.31197628.2723.84197221.1218.9819771.76-7.181973-22.14-14.66197813.936.56投资组合的构建过程投资组合的构建过程是由下述步骤组成的：1、需要界定适合于选择的证券范围。2、投资者还需要求出各个证券和资产类型的潜在回报率的期望值及其承担的风险。3、实际的最优化阶段，必须包括各种证券的选择和投资组合内各证券权重的确定。风险资产与无风险资产的结构资产配置决策主要要解决的问题是在整个资产中确定各项资产的比例。投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。同方：w1=15.75/35=0.45紫光：w2=19.25/35=0.55风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，有y=35/50=0.7(风险资产)1-y=0.3(无风险资产)风险与无风险资产的结构变化投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为投资于股票：y=500000×0.55=275000(元)投资于国库券：1-y=500000×0.45=225000(元)投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有清华同方：w1=275000×0.55=151250(元)清华紫光：w2=275000×0.45=123750(元)风险与无风险资产的结构决定假定风险资产的期望收益为E(rP)=15%，标准差为P=22%，无风险资产组合F的收益率为rf=7%。风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=15%-7%=8%令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf资产组合C的期望收益为：7%+y(15%-7%)=7+8y由于P=22%，有：σC=yσp=22y资本配置线的形成图资本配置线如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=15%，P=22%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=7%，P=0。资本配置线的意义从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为8/22=0.36，每增1单位风险，可获0.36单位收益。即每增1单位收益，将增2.75(22/8=2.75)单位风险。资本配置线的数学表达根据σC=yσp=22y，有y=c/p，将y代入有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=rf+([E(rp)-rf]/σp)σc=7+(8/22)σc从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为rf，斜率为8/22。该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。假定投资预算为300000美元，我们的投资者另外借120000美元，把所有可用资金全部投入风险资产中。y=420000/300000=1.41-y=1-1.4=-0.4，这反映出无风险资产是空头，即一个借入头寸。资产组合收益率分布仍旧展现出相同的酬报与波动性比率：E(rC)=7%+(1.4×8%)=18.2%%8.30%224.1c36.08.3072.18)(cfcrrEs非政府投资者不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险使得贷款者要求更高的贷款利率。假设借入利率rBf=9%在借入资金的条件下，酬报与波动性比率，也就是资本配置线的斜率将为：[E(rP)-rfB]/σP＝6/22＝0.27。最优资本配置推导根据前面的公式，我们可以得到以下两式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σ2C=y2σ2p将两式代入效用函数，有MaxU=E(rc)-0.005A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p(MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p令导数为0，有：y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。最优资本配置举例还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为4，求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有y*=[15%-7%]/(0.01×4×222)=41%根据结果，应将资金的41%投资于风险资产，56%投资于无风险资产。整个资产组合的E(rc)=7%+(41%8%)=10.28%C=41%22%=9.02%3.28/9.02=0.36等于前例中的酬报与波动性比率。最优资本配置举例如果假定投资者的风险厌恶程度A为2，其结果为y*=[15%-7%]/(0.01×2×22%2)=82.6%E(rc)=7%+(82.6%8%)=13.61%C=82.6%22%=18.96%6.61/18.96=0.36风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到13.61%，风险溢价提高到6.61%，标准差也提高了一倍，达到18.96%。风险厌恶程度较低（A＝2）的投资者比风险厌恶程度较高（A＝4）的投资者有更高的风险资产（譬如P）的确定等价。最优资本配置的几何表达资产配置程序可分为两步进行：（1）确定资本配置线，（2）沿这条线找到最高效用点。资本市场线消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)。美国标准普尔500的1926年至1996年的数据表明，消极的风险资产组合提供的平均风险溢价为8.7%，其标准差为20.39%，假设投资者将投资资金的71%投向与标准普尔500指数相同的收益风险特性的风险资产组合。有y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p=8.74%/(0.01×A×20.392)=0.71A=8.74%/(0.01×0.71×20.392)=2.96当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-4之间。非系统风险与系统风险“资产组合”的风险来源:来自一般经济状况的风险对特定企业带来风险分散化的方法达到降低风险的目的非系统风险与系统风险在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（marketrisk），它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称为系统风险（systematicrisk）或不可分散的风险（nondiversifiablerisk）。那些可被分散化消除的风险被称为独特风险（uniquerisk）、特定企业风险（firm-specificrisk）、非系统风险（nonsystematicrisk）或可分散风险（diversifiablerisk）。股票分散化的实证研究美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表股数月均收益率月均标准差与市场的相关系数R10.88%7.0%0.5420.69%5.0%0.6330.74%4.8%0.7540.65%4.6%0.7750.71%4.6%0.79100.68%4.2%0.85150.69%4.0%0.88200.67%3.9%0.89两种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为rp=wDrD+wErEE(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)2p