一轮复习空间向量证明平行垂直

2019年9月29日星期日如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量。lAPa１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量APta一、方向向量与法向量2、平面的法向量AalP平面α的向量式方程0aAP换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量总结:如何求平面的法向量⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.练习.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.二、立体几何中的向量方法——证明平行与垂直设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(1)//lm//abab；mlab（一）.平行关系：a设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则uαaAC②∥axAByAD③(2)//l①au0au；vuαβ设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(3)//①//uv.uvu(1)lm0abab（二）、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则lmab设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则(2)l//auaulauABC设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则3（）0uvuvαβuv例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.利用空间向量证明平行问题证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN→＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.用向量证明线面平行的方法：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.探究提高如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.变式训练1证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.利用空间向量证明垂直问题建立适当的空间直角坐标系，利用向量坐标证明．证明∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C12，32，0，E14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D0，233，0，∴CD→＝－12，36，0.又AE→＝14，34，12，∴AE→·CD→＝－12×14＋36×34＝0，∴AE→⊥CD→，即AE⊥CD.(2)方法一∵P(0,0,1)，∴PD→＝0，233，－1.又AE→·PD→＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD→⊥AE→，即PD⊥AE.∵AB→＝(1,0,0)，∴PD→·AB→＝0，∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.方法二设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵AB→＝(1,0,0)，AE→＝14，34，12，∴n·AB→＝0n·AE→＝0，即x＝014x＋34y＋12z＝0，令y＝2，则z＝－3，∴n＝(0,2，－3)．∵PD→＝0，233，－1，显然PD→＝33n.∴PD→∥n，∴PD→⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．例3如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．利用空间向量解决探索性问题(1)可以用几何法，也可以用向量法．(2)利用向量法一般比较方便．(1)证明∵PA⊥面ABCD，∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝2，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)解分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0,2，－1)．∵PE→∥PD→，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴CE→⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.将y＝1代入①，得z＝12.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．变式.（09宁夏）四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.SODABCPOCSD0,OCSD,即SODABCP，设),,(000zyxE,CEtCS0002(,,)262(0,,)22xyaztaa62(0,(1),)22Eatat622(,(1),)222BEaatatE对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．探究提高