声学基础课后答案

习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。解：由公式mmoMKf21得：mfKm2)2(1-2设有一质量mM用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点mM在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答：lgf210，g为重力加速度）图习题1－2解：（1）如右图所示，对mM作受力分析：它受重力mMg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sinl受力分析可得：sinmmFMgMgl（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：22ddmFMt则22ddmmMMgtl即22d0,dgtl20gl即01,2πgfl这就是小球产生的振动频率。1-3有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置0x处，挂着一质量mM，如图所示，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质量mM在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对mM进行受力分析，见右图，0)(22002200xxTxlxlTFx（0x，2022020220)()(,xlxlxx。）220220)(xTxlTFy00xTxlT)(00xlxTl可见质量mM受力可等效为一个质点振动系统，质量mMM，弹性系数)(00xlxTlk。（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为)(00xlxTlF，方向为竖直向下。（2）振动频率为mMxlxTlMK)(00。（3）对分析可得，当20lx时，系统的振动频率最低。1-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的0x位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置0的振动位移很小，满足0条件。图习题1-3图习题1－4解：如右图所示，受力分析可得002cos4cos12TMgMgll又0，'TT，可得振动方程为202d2d2TMlt即202d44dTTMtll001411222TlMggfMM1-5有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移)cos(0ta，速度表达式为)sin(00tva。由于00t，00tv，代入上面两式计算可得：t00cos；tv000sin。振动能量22022121amamMvME。1-6有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为0v，试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为mK，质量为mM，取正方向沿x轴，位移为。则质点自由振动方程为2202d0,dt（其中20,mmKM）解得00cos(),at000000dsin()cos()d2aavttt当00t，00tvv时，00000coscos()2aav222000000001arctanavv质点振动位移为222000000001cos(arctan)vvt质点振动速度为2220000000cos(arctan)2vvvt质点振动的能量为222200011()22mamEMvMv1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加tt2sin21sin，试问：(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？解：tt2sin21sin，ttdtd2coscosttdtd2sin2sin2222。令0dtd，得：32kt或kt2，经检验后得：32kt时，位移最大。令022dtd，得：kt或)41arccos(2kt，经检验后得：kt2时，速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示)cos()cos(2211tt试证明)cos(ta其中)cos(212212221a，22112211coscossinsinarctan证明：)cos()cos(2211tt11112222coscossinsincoscossinsintttt11221122cos(coscos)sin(sinsin)tt设1122coscosA，1122(sinsin)B则cossinAtBt=22cos()ABt（其中arctan()BA）又22222211221212coscos2coscosAB222211221212sinsin2sinsin22121212122(coscossinsin)221212212cos()又arctan()BA11221122sinsinarctan()coscos令22221212212cos()aAB则)cos(ta1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示twtw2211coscos(12ww)试证明)cos(1twa，其中.,)cos()sin(arctan,)cos(221212212221解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知，)cos(212212221twtwa)cos(2212221wt其中，12。由三角形面积知，sin21sin21121awt得awtsinsin2得wtwttga22222sinsin2212)cos(sinwtwtwtwtcossin212故wtwtcossin212即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mg＝Kmξ1Km＝mg/ξ1由质点振动系统固有频率的表达式mmMKf210得，120220244fmgfKMmm.纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由mmMKf210得mmMfK20)2(由mMKfmm210得),()2(20mMfKmm联立两式，求得202020fffmMm，2020202024fffmfKm1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图1-2-3图1-2-4解：串接时，动力学方程为0212122mmmmmKKKKdtdM，等效弹性系数为mmmmKKKKK2121。并接时，动力学方程为0)(2122mmmKKdtdM，等效弹性系数为mmKKK21。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为29.8gms，月球表面的重力加速度为g由虎克定律知,MFKx又MFMg则1100.1MggKgx0221MTK则2210109.82.544gMkg又10.4xx则0.04xmMgKx则2240.041.58KgxmsM故月球表面的重力加速度约为21.58ms，而该岩石的实际质量约为2.5kg。1-14试求证))1(cos()2cos()cos(cosntatatata2)1(cos2sin2sinntna证))1(()2()(ntjtjtjtjaeaeaeae)1(jtjeaesincos1sincos111jjjnjnaeeeaetjntj2cos2sin2cos2sin2sin2sinsin2sin2sin2sin222jnjnnaejnjnaetjtj)21(21)212()22(2sin2sin2sin2sin2sin2sinntjnjtjjnjtjenaenaeeenae同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧mK在它上面加一重物mM，构成一振动系统，其固有频率为0f，(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率0f不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？解：固有频率mmoMKf21。（1）200ff4mmKK，故应该另外串接三根相同的弹簧；（2）002ffMMmmmmKK2，故应该另外并接一根相同的弹簧。1-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为mM，弹性系数为mK。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为012πmmKfM。1-17原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε所以Km＝0.2×9.8/0.04=49N/m1/1ee故msNRMRmmm/12Hzfww57.115.04921'020'0（2）系统所具有的能量JKEm0392.004.049212122（3）平均能量JeKEtm32201031.5211-18试求当力学品质因素5.0mQ时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻0，0vv，试讨论解的结果。解：系统的振动方程为：022