6-2资产组合理论与CAPM模型

第6讲现代投资理论（2）：资产组合理论与资本资产定价模型2ƒ现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志ƒ1962年，WillianSharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）ƒ1976年，StephenRoss提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitragepricingtheory，APT）。ƒ上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，EugeneFama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficientmarkethypothesis，EMH）3一、资产组合理论ƒ基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）投资者希望持有有效资产组合。41、组合的可行集和有效集ƒ可行集与有效集¾可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。¾有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有昀高收益的组合或者给定收益水平下具有昀小风险的组合。每一个组合代表一个点。¾有效集（Efficientset）：又称为有效边界（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。5两种风险资产构成的组合的风险与收益ƒ若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为11222222211221212222211221212121211112222211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprwrwrσσσσσσσσρσσσσσρ=++++==−+−+−＋＝＝由于＋，则＋＝由此就构成了资产在给定条件下的可行集！6ƒ注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1ƒ因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。ƒ其他所有的可能情况，在这两个边界之中。7组合的风险－收益二维表示.收益rp风险σp（1）两种完全正相关资产的可行集8两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有p11112111121p111p221122()(1)()(1)10pppσσσσσσσσσ+−=−==＝＋当＝时，＝，当＝时，＝，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。91111212121112212121221212221212()(1)()/()()(1)(()/())(1()/())pppppppσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=+−=−=+−=−+−−−−=−+−−则－从而－－故命题成立，证毕。ƒ命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。ƒ证明：由资产组合的计算公式可得10两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp风险σp11(,)rσ22(,)rσ11（2）两种完全负相关资产的可行集ƒ两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有2222p11112111211121111221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)pσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+−−=−−=−==+≥−−+≤−−+=－＋当时,当时，=当时，=12命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：2112111121()(1)()ppσσσσσσσ≥+=−−=当时，则可以得到，从而221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrrσσσσσσσσσσσσσσσ=−++−−=++++＋＋＋132112112111212221212,()(1)()ppppσσσσσσσσσσσσσ≤+=−−−−=−++++同理可证当时，则命题成立，证毕。14两种证券完全负相关的图示收益rp风险σp122212rrrσσσ−++22(,)rσ11(,)rσ15（3）两种不完全相关的风险资产的组合的可行集111122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1ppprwwrwrρσσσσσρρσσσρ−=−+−+−+−−当1时＋＝尤其当＝时＝这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。16总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集收益Erp风险σpρ=1ρ=0ρ=-111(,)rσ22(,)rσ122212rrrσσσ−++171212121212121111ρρρρρρ−由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的增大，弯曲程度增加；当＝－时，呈现折线状，也就是弯曲度昀大；当＝时，弯曲度昀小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。183种风险资产的组合二维表示ƒ一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。收益rp风险σp123419ƒ类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。收益rp风险σpn种风险资产的组合二维表示20总结：可行集的两个性质1.在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的¾因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。¾为什么？21收益rp风险σp不可能的可行集AB22（4）风险资产组合的有效集™在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供昀大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供昀小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；™由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的昀优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。23™整个可行集中，G点为昀左边的点，具有昀小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的昀高点S（具有昀大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供昀大的预期收益率；而与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险又是昀小的。24总结A、两种资产的可行集¾完全正相关是一条直线¾完全负相关是两条直线¾完全不相关是一条抛物线¾其他情况是界于上述情况的曲线B、两种资产的有效集¾左上方的线C、多个资产的有效边界¾可行集：月牙型的区域¾有效集：左上方的线252、昀优风险资产组合z由于假设投资者是风险厌恶的，因此，昀优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。z虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，昀终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的风险规避程度。z度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了昀优的投资组合。26理性投资者对风险偏好程度的描述——无差异曲线同一条无差异曲线,给投资者所提供的效用（即满足程度）是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜,高风险被其具有的高收益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。不同理性投资者具有不同风险厌恶程度由无差异曲线族的陡峭程度来反映。无差异曲线越陡峭，投资者越厌恶风险。图a代表的投资者与图b代表的投资者相比，风险水平增加相同幅度,图a代表的投资者要求收益率的补偿要远远高于图b所代表的投资者。因此，图a对应的投资者更加厌恶风险。28昀优组合的确定ƒ昀优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点Ｏ处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。29资产组合理论的优点ƒ首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。ƒ分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。ƒ从单个证券的分析，转向组合的分析30资产组合理论的缺点ƒ当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。ƒ解的不稳定性。ƒ重新配置的高成本。ƒ因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是CAPM。31二、资本资产定价模型（CAPM）™资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。™CAPM解决了所有的人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。™CAPM理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。32ƒ资本资产定价模型，即CAPM模型。其核心思想就是个股的期望收益等于市场的无风险利率加上市场风险溢价乘以反映个股风险溢价与市场风险溢价的系数关系的β值。ƒ其数学表达形式为：对CAPM核心思想的阐述])([)(fmifprrErrE−+=β33ƒCAPM要告诉我们什么？¾有效组合的预期收益和风险之间将是一种什么关系？¾对有效组合合适的风险度量尺度是什么？¾单个证券(或无效组合)的预期收益和风险之间将是一种什么关系？¾对单个证券(或无效组合)合适的风险度量尺度是什么？34ƒ在资产组合理论中，我们讨论了由风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。ƒ假设无风险资产的具有正的期望收益，且其方差为0。ƒ将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合，则可以证明：新组合的有效前沿将是一条直线。引言35ƒ命题3：一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。11111111(1)(1)fppfrrwwrrwrwrσ−=+−证明：假定风险组合(基金）已经构成，其期望收益为，方差为，无风险资产的收益为，方差为0。为风险组合的投资比例，为无风险证券的投资比例，则组合的期望收益为p111111111(2)12()(1),ppfpffpffwrrrrrrrrrσσσσσσσσσ=−=+−+−组合的标准差为由（）和（）可得＝可以发现这是一条以为截距以为斜率的直线。命题成立，证毕。一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。37收益rp风险σprf不可行非有效38加入无风险资产后的昀优资产组合风险收益无风险收益率rf原组合有效边界MF新组合的有效边界391、分离定理™无论投资者的偏好如何，直线FM上的点就是昀优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。™分离定理（Separationtheorem）：投资者对风险的规避程度与该投资者风险资产组合的昀优构成是无关的。™所有的投资者，无论他们的风险规避程度如何不同，都会将切点组合（风险组合）与无风险资产混合起来作为自己的昀优风险组合。因此，无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产昀优组合。™风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，反之亦反。40分离定理对组合选择的启示™若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capitalallocationdecision）和资产选择决策（Asse