中国的核心预算机构研究

分式【知识网络】一、基本概念1.形如BA(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.2.整式和分式统称有理式,即有理式分式整式二、分式的基本性质1.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示即是：MBMABAMBMABA,（其中M是不等于零的整式）。注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的值是零，则分式没有意义。2.符号规则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用式子表示即是：ba-b-aba-，babababa三、运算法则1.乘法法则：bdacdcba2.除法法则：bcadcdbadcba3.加减法则：同分母加减法则：（1）cbacbca异分母加减法则：（2）bdbcadbdbcbdaddcba4.乘方法则：nnnbaba（n为正整数，b0）四.分式方程及其解法1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程.2.分式方程的解法（1）去分母法的步骤：○1去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；○2解这个整式方程；○3把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后再求出原来的未知数．分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.重要考点考点一、分式的基本概念考点二、当分式有(无)意义和值为0时,字母的取值范围考点三、分式的基本性质考点四、分式的化简与混合计算——分式的加减、分式的乘除考点五、负指数与科学记数法考点六、分式方程的概念及其解、分式方程中的增根型问题考点七、列分式方程解应用题考点一、分式的概念例1．使分式2xx有意义的x的取值范围为（）A．2xB．2xC．2xC．2x解析：根据分式的概念可知，当分式的分母不为0时，分式有意义．所以有2x－4≠0，得x≠2．选B．考点二、分式的约分与通分例2．计算：1xxx2．解析：x1x)1x(x1xxx2点评：本题主要考查分式的约分，应先把能分解因式的分子分解因式，再将分子与分母的公因式约去．例3．已知两个分式4x4A2，x212x1B，其中x≠±2，则A与B的关系是（）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A大于B解析：把B通分后再和A进行比较，4x4)2x)(2x()2x()2x(2x12x1B2，而4x4A2，所以A与B互为相反数．答案为C．点评：其实，解决本题的关键还是分式的通分，但它又不完全等同于分式的一般通分题型，它需要我们先进行分析，然后再找出解决问题的方法．考点三分式的乘除例4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x分别取3，225，37时，求代数式1x2x21x1x2x22的值．小明一看：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体解题过程．解析：21)1x(21x)1x)(1x()1x(1x2x21x1x2x222，所以，不论x为任何不等于1或－1的实数，原式的值不变．故当x分别取3，225，37时，代数式的值都是21．点评：本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算，运算过程中，能约分的一定要约分．考点四分式的加减例5．化简：babbaa22.解析：按同分母分式相加减的法则进行计算，分母不变，分子相加减．原式=baba22baba)ba)(ba(．点评：本题主要考查同分母分式相加减的法则．考点五分式的混合运算例6．先化简1xx)1x11(2，再选择一个你喜欢的恰当的x的值代入并求值．解析：原式1xx)1x)(1x(1xxx)1x)(1x()1x11x1x(．当x=2006时，原式=2006＋1=2007．点评：字母x的值不是由题目给出的，而是自己选取，这大大增强了题目的灵活性．此题难度并不大，但要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式．在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，即x要取不等于－1，0，1的其他数值．考点六、解分式方程例7．解方程：x312212x61．解析：首先将“分式方程整式化”．直接求解可得32x．点评：解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有时会产生增根．考点七、说理型问题例8．（1）已知1x11xxx1x1x2xy222，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值始终不变．解析：先把原式化简，得y=1，说明y的值与x的取值无关．所以只要保证右边代数式有意义，不论x为何值，y的值始终不变．考点八、改错题例9．对于试题：“先化简，再求值：x111x3x2，其中x=2．”某同学写出了如下解答：解：1x1)1x)(1x(3xx111x3x22x21x3x)1x(3x)1x)(1x(1x)1x)(1x(3x当x=2时，原式=2×2－2=2．上述解答正确吗？如不正确，请你写出正确解答．解析：本题明显的错误是在化简过程中将分母去掉了，改变了原式的值．化简的结果应是1x2，当x=2时，原式32．点评：解分式题首先应化简，化简过程中一定要细心、谨慎．考点九、探究题例10．观察下列等式：211211；3121321；4131431；…；1n1n1)1n(n1将以上等式相加得到1n11)1n(n1431321211．用上述方法计算101991751531311，其结果是（）A.10150B.10149C.101100D.10199解析：由上述方法可知：)311(21311；)5131(21531；)7151(21751；…；)1011991(21101991．所以10150)10111(21101991751531311．答案为A．点评：探究型试题以其综合性强，富有思考价值，注重考查探索精神和创新意识等特征逐渐成为中考热点．因此同学们要重视此种题型的训练．考点十列分式方程解应用题例11．南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加了20m，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤xm，则得方程为．解析：解出本题关键是找出等量关系:原计划的时间－现在的时间的时间=2小时.224020x－2240x＝2.例12．在我市公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：24241,1818101xyxyx，解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成．由（1）知，乙工程队30天完成工程的301602，∴甲工程队需施工12÷140=20（天）．最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=2．25（万元）．答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是2．25万元．评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维．三、易错点剖析1．符号错误例1．不改变分式的值，使分式baba的分子、分母第一项的符号为正．错解：babababa诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号．正解：babababababa)()(．2．运算顺序错误例2．计算：)3(3234422aaaaaa错解：原式=342)2(34)2(222aaaaaa．诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右．正解：原式=1)3(2)3(2334422aaaaaaaa．3．错用分式基本性质例3．不改变分式的值，把分式baba32232的分子、分母各项系数都化为整数．错解：原式=babababa32343)32(2)232(．诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了．正解：原式=babababa649126)32(6)232(．4．约分中的错误例4．约分：2222babaaba．错解：原式=22322111bb．诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式．正解：原式=baababaa2)()(．5．结果不是最简分式例5．计算：2222223223yxyxyxyxyxyx．错解：原式=222222)32()2()3(yxyxyxyxyxyx．诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约分化简．正解：原式=yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx2))(()(222)32()2()3(2222．6．误用分配律例6．计算：)222(422mmmmm．错解：原式=)2(2321)2(2122)2(22)2()2(22mmmmmmmmmm．诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律．正解：原式=)3(21)3)(2(2)2(2226)2(222mmmmmmmmmmm．7．忽略分数线的括号作用例7．计算：1123xxxx．错解：原式=1121)1)(1(111122323xxxxxxxxxxxx．诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用．正解：原式=111111)1)(1(1111332323xxxxxxxxxxxxxxx