第五章均值-方差前沿和beta表达式(资产定价,北大,史树

第一部分资产定价理论第五章均值－方差前沿和beta表达式资产定价AssetPricing52本章要点许多资产定价中的经验研究论文是用期望收益－beta表达式和均值－方差前沿的语言来写的。这一章介绍期望收益－beta表达式和均值－方差前沿。我在这里讨论因子定价模型的beta表达式。第六章指出期望收益－beta模型是如何等价于一个折现因子为m=b’f的线性模型。第九章讨论诸如CAPM,ICAPM和APT那样的流行因子模型的推导。资产定价AssetPricing53本章要点（续）我对均值－方差前沿概述了经典的Lagrange方法。然后，我引入由HansenandRichard(1987)提出的均值－方差前沿的强有力而有用的表达式。这个表达式由存在定理来运用熟知的状态空间几何。在无限维偿付空间(当我们再加上条件信息、动态交易或者期权时，我们将立即遇到这样的空间)中，它也成立，因而它也很有用。资产定价AssetPricing545.1期望收益－beta表达式因子定价模型的期望收益－beta表达式为该模型等价于一种限制：在时间序列回归中对于所有资产的截距是一样的。许多金融学中的经验研究是用线性因子定价模型的期望收益－beta表达式来写的。其形式为资产定价AssetPricing55项的计算项定义为下列收益关于因子的多重回归中的系数，它通常称为时间序列回归。“因子”f是边际效用增长的代理。第九章中将讨论它从哪里来。这个回归式并不是用来预测收益，其目标是度量当前关系或风险暴露。资产定价AssetPricing56与是公共的在期望收益－beta表达式中，与是公共的。模型表明，越高，资产的平均收益就越高。也可解释为风险暴露。模型可说成是：“每单位关于风险因子a的暴露,你必须向投资者提供期望收益溢价。”资产定价AssetPricing57怎样估计与？自由参数与的估计是通过平均收益关于beta的横截面回归：是定价误差。模型的预测是为零。因此，它应该在检验中统计上是不显著的，经济上很小。以后将专门讨论基于平方定价误差和的统计检验。资产定价AssetPricing58的含义是回归系数的事实极为重要。如果也是自由参数，那么模型就没有任何内容。更为重要的是，不可能是资产或公司专有的特征，例如公司规模，BTM比，或者（取极端状况）其标记的第一个字母等等那样的特征。期望收益确实联系或相关许多这样的特征，但是这种相关性必须用某些回归系数来解释。真正的应该导出横截面回归中的特征。它刻划的是你的行为，而并非说你是谁。资产定价AssetPricing59某些公共的特殊情形如果存在无风险利率，那么它相应的都是零。因此，如果不存在无风险利率，通过横截面回归来估计，并称为零-利率。对于一般的超额收益，有这里没有.资产定价AssetPricing510某些公共的特殊情形（续）在许多情况下，因子也是收益或超额收益。这时，等等成立。因此，上式是横截面回归，而不是时间序列回归。应该注意其中的区别。这里尤其是截矩上的区别。“Onecanalwaysrunaregressionofanythingonanything.”资产定价AssetPricing5115.2均值－方差前沿：直观刻划和Lagrange刻划典型的均值－方差前沿如图。注意：本书的“前沿”不要求“有效”。资产定价AssetPricing512均值－方差前沿的存在定理给定资产集的均值－方差前沿是给定资产的所有组合上的收益的均值和方差的集合的边界。通过给定平均收益最小化收益方差可求得或定义这一边界。定理：如果收益的方差－协方差矩阵非异，那么均值－方差前沿存在。资产定价AssetPricing513均值－方差前沿的Lagrange方法问题：设R为资产收益向量。EE(R)为均值收益向量，＝E[(R-E)(R-E)’]为协方差矩阵。组合向量定义为满足w’1=1的w.于是“对于给定均值选取组合，是方差最小”的问题为资产定价AssetPricing514组合选择问题的解解：令那么对于给定的平均组合收益，最小方差组合的方差为（抛物线）组合权重为资产定价AssetPricing515最小方差组合和“二基金分离”把前面得到的方差对求最小值，可得其相应的最小方差为,而相应的组合权重为由于w是的线性函数，整个前沿可由两个前沿收益生成（二基金分离定理）。资产定价AssetPricing516组合选择问题求解的推导对两个约束条件引入Lagrange乘子2和2，由一阶条件可得再由约束条件可得资产定价AssetPricing517组合选择问题求解的推导（续）它也可以写成因此，资产定价AssetPricing5185.3均值－方差前沿的正交特征上面介绍的是经典的均值－方差前沿理论。除Markowitz(1952)的开创性研究外，主要是Merton(1972),Roll(1977)等所作的贡献。这种方法很直接，但比较笨拙。HansenandRichard(1987)提出了一种均值－方差前沿的新的讨论方法，它甚至适用于无限维偿付空间。资产定价AssetPricing519和的定义的定义的定义资产定价AssetPricing520为什么要选取这两个收益？是代表折现因子的收益。是代表超额收益。它们的主要性质可由下式看出：资产定价AssetPricing521正交分解定理定理：每个收益可表达为其中是一个数，是有下列性质的超额收益三个分量是正交的：资产定价AssetPricing522均值－方差前沿定理定理：在均值方差前沿上当且仅当对于某个实数w成立。这是一种新形式的二基金分离定理。资产定价AssetPricing523定理的几何构造我们要注意的是：任何收益的价格等于1！资产定价AssetPricing524定理的代数论证一种直截了当的证明是取另一种证明是注意到对于任何收益，有1.于是问题就转化为一个超额收益超平面上的向量的正交分解问题。此外，还要注意到=0.资产定价AssetPricing525在均值－标准差空间中的分解。均值－标准差空间与状态空间不一样，无法显示正交关系，但是可以看出“异质风险”。注意R*的特殊地位。资产定价AssetPricing5265.4生成均值－方差前沿用和来表示的均值－方差前沿的特征在我们的框架中是最自然的。然而，你也可以用任何两个前沿上的组合，即任何两个和的不同线性组合，来生成均值－方差前沿。但是这时权重的系数将有所变化。特别是在无风险利率存在时，可利用它来生成均值－方差前沿。资产定价AssetPricing5275.5,和x*的性质汇总(1)(2)(3)资产定价AssetPricing528(4)(5)(6)(7)(8)是方差最小的收益。5.5,和x*的性质汇总资产定价AssetPricing5295.5,和x*的性质汇总(9)(10)如果存在无风险利率，那么(11)资产定价AssetPricing530(12)(13)(14)5.5,和x*的性质汇总资产定价AssetPricing5315.6对于折现因子的均值－方差前沿:Hansen-Jagannathan界限对给定的资产集定价的所有折现因子的均值－方差前沿通过Sharpe比来构造。即由可得资产定价AssetPricing532Hansen-Jagannathan界限这个等式就称为Hansen-Jagannathan界限。它对于理解和克服股权溢价之谜来说，是一个重要的工具。•它也可以通过左面的图来理解。资产定价AssetPricing533折现因子波动率和Sharpe比关系由此可得到一个美妙的对偶关系：对此，我们可求得明确的计算。我们曾经求得其中资产定价AssetPricing534Hansen-Jagannathan界限公式由此可导得为进一步进行估计，记折现因子m全体为M.类似与以前的讨论，m也可有下列分解：其中资产定价AssetPricing535分解式的图解资产定价AssetPricing536折现因子的均值－方差前沿与均值－方差前沿的讨论一样，由可得其折现因子的均值方差前沿为这就是说，下列关系成立：资产定价AssetPricing537进一步计算我们仍可利用以前的计算：再由可得这样折现因子的均值－方差前沿为资产定价AssetPricing538进一步计算（续）由此可得再由我们再次导得资产定价AssetPricing539Hansen-Jagannathan界限的意义从数学上来看，Hansen-Jagannathan界限的讨论是一种对偶关系的讨论。这在讨论框架条件变更时，非常有用。例如，增加一种证券对均值－方差前沿的影响，就可通过讨论对Hansen-Jagannathan界限的影响来进行。更深入的讨论，还可要求折现因子为正：