单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动

1.1.2单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动1.1单自由度机械系统的振动内容提要一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动2、有阻尼系统的强迫振动二、强迫振动的过渡过程三、强迫振动的稳态振动1、机械阻抗2、频率特性3、激励力对振动系统的输入功率一、强迫振动方程及其解一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使振动持续不停，就要不断从外部获得能量。外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动)（forcedvibration）无阻尼强迫振动示意图谐合函数——正弦、余弦函数。1、无阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解质量元件M受两个作用力①弹性力②外加推力f(x)Dx一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动运动方程式202()()()cosdxtMDxtftFtdt用复数表示：，则运动方程化为：))(~Re()(txtx))(~Re()(tftf2j02()()tdxtMDxtFedt（*）一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和。方程的解=一般解＋特解txtxtx21~~~其中：为方程（*）所对应的齐次方程的解（通解）为方程（*）的特解)(~2tx)(~1tx一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动据前，方程（*）的通解为：0j()1()txtAe0DM（1-1-1节已解出）其中一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动设方程（*）特解的一般形式为j220etxtx一、强迫振动方程及其解特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率等于外力的频率。1、无阻尼系统的强迫振动2j02()()etdxtMDxtFdt代入强迫振动方程（*）tx2~（*）得220200FxM020220FxM所以方程的解为：0j()j0220()ee()ttFxtAM一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动所以，实际位移为：00220()Re()cos()cos()FxtxtAttM式中的和由初条件决定。A第一项：自由振动分量第二项：强迫振动分量结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个简谐振动的迭加。一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动02200cos0sin0FAMA0220;0FAM一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动求得带入上式得取零初始条件00ttx00tdtdx；零初始条件的振动位移三角变换00220coscosFxtttM0002202sinsin22FxtttM一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动0000~时‘拍’现象不明显时‘拍’现象明显形成‘拍’振动一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的拍频振动规律①振动频率近似等于②“振幅”作慢周期变化，拍周期0π2一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动当00000sin2sin22tFtxttMt00sin2FtxttM一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动特例：当时，振子振幅逐渐(共振)实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。0结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动总也不消失。一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动有阻尼时，运动方程2()()()()mdxtdxtMRDxtftdtdt2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解tFtFcos0))(~Re()(txtx))(~Re()(tFtF复数表示：外力为谐和力运动方程：其解：为齐次方程的解，已在前面解出。此解数学上称为“通解”；物理中称为“暂态解”。2j02()()()etmdxtdxtMRDxtFdtdt)(~)(~)(~21txtxtx1j()1()ttmxtAee其中：2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解00220101costmxtAet系统的固有频率，决定于系统本身的参数由系统的初始条件确定0,1,mA2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解当时,设特解代入到运动方程得到tmeXtxj2~20jmmMRDXF2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解2j02()()()tmdxtdxtMRDxtFedtdt002jjjmmmFFXMRDDRM此解数学上称为“特解“；物理中称为“稳态解”j02()j[j()]tmFxteDRM2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解jjmmmDZRMZe令22mmDZRM1tgmDMR2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解πj()j()0022()jttmmFFxteeZZ则外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比，并和外力频率有关。01201()Re()()ecos()sin()tmFxtxtxtAttZ其中：由初始条件决定;由系统参数决定。10,A,,,mZ)(~)(~)(~21txtxtx2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量的位移由两个函数组成：第一项为暂态分量：振动角频率为。表示外力刚开始时激发起系统的自由振动分量。振幅随时间衰减。第二项为稳态分量：振动频率等于外力的频率，表示外力产生的强制振动分量。是振幅不变的简谐振动。随时间的增加，前者对位移的影响趋于0,后者成为描述振子运动的函数—稳态解。2、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解0对解的进一步分析：(1)强迫振动的过渡过程（暂态解）阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到0的过程。二、强迫振动的过渡过程几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的形式不同。①零初始条件：从最简单的情况入手分析之，设振动系统开始时完全处于静止状态且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。则：00,00vx0二、强迫振动的过渡过程0,mmRZ00100cossintmmFxtAettR二、强迫振动的过渡过程22mmDZRM1tgmDMR0得；带入零初始条件得010π,2mmFAR振动位移的过渡过程000()(1e)sintmFxttR二、强迫振动的过渡过程所以系统过渡时间：稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。mmZFx00095.0显然，此振动振幅达到稳定的过程由系数决定，一般上，认为振幅到稳定值的95％时,就达到了稳态。0二、强迫振动的过渡过程定义：为系统的过渡时间。单位，秒（Sec）。值与的关系：π0mQ0000πTQTQmm大，大——达到稳态需要时间长（阻小）mQ0)044.0(π956.01πetet，可得：若二、强迫振动的过渡过程00TQm②外力频率接近而又不等于自由振动频率，则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭加表现出拍现象。随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。二、强迫振动的过渡过程③正弦脉冲填充的作用周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用,且填充正弦信号频率设脉冲正弦作用力的持续时间为，当力加到系统上以后，振动的振幅按曲线随时间增长，而脉冲结束后，系统振动按自由振动规律指数衰减，因此振动的位移和力的时间波形不同。并且、不同时，脉冲波形的畸变不同。01et0二、强迫振动的过渡过程大阻尼中阻尼小阻尼二、强迫振动的过渡过程图1.Qm=1.7（低）图2.Qm=5（中）图3.Qm=15（高）三、质点的稳态振动振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解影响0，只有稳态解，所以下面分析稳态解。（实际工程中，主要关心的是稳态解）系统振动达到稳态时位移：振速：j()0()ejtmFxtZjj()j()000je()()()jeejetttmmmmFFFdxtFtvtdtZZZZj0()etFtFjj()emmmDZRMZ其中，三、质点的稳态振动定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用下产生稳定的同频率谐合振速，若用复数力表示谐合激励力，用复数振速表示同频率振速；则复数力与复数振速之比为该系统在该频率下的机械阻抗。记为（或）。F~v~mZ~mZ1、机械阻抗三、质点的稳态振动mmmXRtvtFZj)(~)(~~—机械阻，—机械抗。mRmXMKS制中其单位：kgs-1（力欧姆）1、机械阻抗三、质点的稳态振动据定义，前例的机械系统的机械阻抗为，mjj1jCemmmmDZRMRMZ1tgmDMR22mmDZRM1、机械阻抗物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速幅值所需力的大小。三、质点的稳态振动;机械振动系统在简谐力作用下振动，改变激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值不变,初相位为0；得到的某个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线。——二者称作该响应的频率特性曲线。幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该响应的频率特性曲线。三、质点的稳态振动2、频率特性曲线①前例单自由度阻尼机械振动系统的位移响应j()j00j()022()eejjj()e()()πarctan{}2xttmmtmmmxmFFxtDZRMXFXDRMDmR其中：2、频率特性曲线三、质点的稳态振动位移的频响曲线位移的相频曲线))j((j0DmRFXmm)))j((arg(jDmRmx位移的幅频曲线2、频率特性曲线三、质点的稳态振动②前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应j()j00j()022()()eej()e()()arctan{}vttmmtmmmvmFFdxtvtDdtZRmVFVDRmDmR其中：2、频率特性曲线三、质点的稳态振动振速的频响曲线)j(0DmRFVmm))j(arg(DmRmv振速的幅频曲线振速的相频曲线2、频率特性曲线三、质点的稳态振动j()j00j()022()()jejej()e()()πarctan()2attmmtmmmamFFdvtatDdtZRmaFaDRmDmR③前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应2、频率特性曲线三、质点的稳态振动)j(j0DmRFamm))j(jarg(DmRma加速度的频响曲线加速度的幅频曲线加速度的相频曲线2、频率特性曲线三、质点的稳态振动共振频率定义:机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，则称，