解析几何知识点总结

-1-解析几何知识点总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围：（0,180）2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.k=tanα（1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。（3）设经过A（x1,y1）和B（x2,y2）两点的直线的斜率为K，则当X1≠X2时，k=tanα=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方程：121121xxxxyyyy；注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以适应在于任何一条直线。4截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（a≠0，b≠0）则直线方程：1byax；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。三、两条直线的位置关系位置关系222111::bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl-2-平行21kk，且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0)重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；五、点到直线的距离公式：1.点P(X0，Y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为：2200||BACByAxd；2.两平行线L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0的距离为：2221||BACCd；六、直线系：（1）设直线L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，经过L1,L2的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去L2）；如：①Y=kx+1→y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与x=0的交点(0,1)除去x=0的直线方程。②直线L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点。（2）和L:Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0（3）与L:Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：（1）中心对称：①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a.b）关于C（c,d）的对称点（2c-a,2d-b）②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；Ⅱ、求出一个对称点，在利用L1//L2由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。-3-如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。（2）轴对称：①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。②直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）Ⅰ、若a.b相交，则a到L的角等于b到L的角；若a∥L，则b∥L，且a.b与L的距离相等。Ⅱ、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。Ⅲ、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点'P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。第二部分：圆与方程2.1圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax2.3圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且-4-0422AFED.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(22BACBbAad(1)0相离rd；(2)0相切rd；（3）0相交rd。2.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd；（2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr；（4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含2.6圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7圆的弦长问题：半弦2L、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL第三部分:椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭-5-圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（cFFa2221时为线段21FF，cFFa2221无轨迹）。2．标准方程：222cab①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，222cba并且椭圆的焦点总在长轴上；②一般形式表示：221xymn或者),0,0(122nmnmnymx二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222byax（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222bxay（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作e（10e），22221()beaac奎屯王新敞新疆-6-e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；5．椭圆的的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.6.几何性质（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）abAB22（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221bSFMF其中21MFF7直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点000(2)弦中点问题:（用点差法解决—）斜率为k的直线l与椭圆),0,0(12222nmnmnymx交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是AB的中点，则：0022yxmnkAB(3)弦长公式：]4)[(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（第四部分：双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay-7-定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)重要结论（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）abAB22（2）焦点三角形：2cot2tan2221bbSFMF渐近线方程xabyyabx共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；xyP1F2FxyxyP1F2Fxy-8-（2）其标准方程为Cyx22其中C≠0；（3）离心率2e；（4）渐近线：两条渐近线y=±x互相垂直；第五部分：抛物线知识点总结图象)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MFM=点M到直线l的距离}范围0,xyR0,xyR,0xRy,0xRy对称性关于x轴对称关于y轴对称焦