人教版高中数学必修1第三章函数的应用单元测试卷

第三章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是()答案A解析由二分法的定义与原理知A选项正确．2．下列函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是()A．y＝0.001exB．y＝1000lnxC．y＝x1000D．y＝1000·2x答案A解析增大速度最快的应为指数型函数，又e≈2.7182.3．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，1，32内，则与f(0)符号相同的是()A．f(4)B．f(2)C．f(1)D．f32答案C解析由题易知f(x)的唯一零点在区间1，32内，由f(x)是R上的单调函数，可得f(1)与f(0)符号相同，故选C.4．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝3，f(2)＝－5，f32＝9，则下列结论正确的是()A．x0∈1，32B．x0＝－32C．x0∈32，2D．x0＝1答案C解析由于f32·f(2)0，则x0∈32，2.5．函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析令f(x)＝0，可得x12＝12x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x12和指数函数y＝12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f(x)的零点只有一个．6．如图表示人的体重与年龄的关系，则()A．体重随年龄的增长而增加B．25岁之后体重不变C．体重增加最快的是15岁至25岁D．体重增加最快的是15岁之前答案D解析∵函数不是增函数，∴A错；[0,50]上为增函数，故B错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．7．函数f(x)＝xln(x－2017)的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析函数f(x)的定义域为{x|x2017}，令f(x)＝0，则x＝2018，故只有1个零点．8．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A­B­C­M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是()答案A解析依题意，当0x≤1时，S△APM＝12×1×x＝12x；当1x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝12×1＋12×1－12×1×(x－1)－12×12×(2－x)＝－14x＋34；当2x≤2.5时，S△APM＝S梯形ABCM－S梯形ABCP＝12×1＋12×1－12×(1＋x－2)×1＝34－12x＋12＝－12x＋54.∴y＝f(x)＝12x0x≤1，－14x＋341x≤2，－12x＋542x≤2.5.再结合图象知应选A.9．若f(x)＝x－1x，则函数y＝f(4x)－x的零点是()A.12B．－12C．2D．－2答案A解析根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即4x－14x－x＝0，得x＝12，故选A.10．若关于x的方程f(x)－2＝0在区间(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象可以是()答案D解析因为关于x的方程f(x)－2＝0在区间(－∞，0)内有解，所以函数y＝f(x)与y＝2的图象在区间(－∞，0)内有交点，观察图象可得只有选项D中图象满足要求．11．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．可知方程解的个数为0、2、3或4，不可能有1个解．12．已知定义在[－2,2]上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根；②方程g[f(x)]＝0有且仅有3个根；③方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根；④方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．其中正确命题的序号是()A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④答案D解析当x∈[－2，－1]时，g(x)∈[－2,2]，f[g(x)]有且仅有3个零点；当x∈(－1,2]时，g(x)∈[－2,2)，f[g(x)]有且仅有3个零点，所以方程f[g(x)]＝0有且仅有6个根．同样的方法可得方程g[g(x)]＝0有且仅有4个根．当x∈[－2，－1]时，f(x)∈[－2,1]，g[f(x)]有且仅有2个零点；当x∈(－1,1]时，f(x)∈[－1,1)，g[f(x)]有且仅有1个零点；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1，2]，g[f(x)]有且仅有1个零点，所以方程g[f(x)]＝0有且仅有4个根，同样的方法可得方程f[f(x)]＝0有且仅有5个根．正确的序号是①③④.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．下列说法正确的是________(填序号)．①一次函数在R上只有一个零点；②二次函数在R上只有一个零点；③指数函数在R上没有零点；④对数函数在(0，＋∞)上只有一个零点；⑤幂函数在其定义域内可能没有零点．答案①③④⑤解析一次函数在R上是单调函数，只有一个零点，①正确；二次函数的零点有三种情况：0个，1个，2个，②不正确；指数函数的值域为(0，＋∞)，没有零点，③正确；对数函数是单调函数，且图象过定点(1,0)，故只有一个零点，④正确；幂函数y＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内没有零点，⑤正确．14．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是________(用数字作答)．答案跌了1.99%解析(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.15．已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)解析当x≥2时，函数y＝2x单调递减，值域为(0,1]；当x2时，函数y＝(x－1)3单调递增，值域为(－∞，1)．因此要使方程f(x)＝k有两个不同的实根，则k∈(0,1)．16．已知函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析分a1与0a1两种情况，画出函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象，如图所示．由图知，当a1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(0,1)，且有唯一的零点－1.(1)求f(x)的表达式；(2)当x∈[－1,1]时，求函数F(x)＝f(x)－kx的最小值g(k)．解(1)由题知f0＝1，f－1＝0，Δ＝b2－4ac＝0，解得a＝1，b＝2，c＝1，f(x)＝x2＋2x＋1.(2)F(x)＝x2＋(2－k)x＋1，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x＝k－22.当k－22≤－1，即k≤0时，g(k)＝F(－1)＝k；当－1k－221，即0k4时，g(k)＝Fk－22＝－k24＋k；当k－22≥1，即k≥4时，g(k)＝F(1)＝4－k.综上，可知g(k)＝k，k≤0，－k24＋k，0k4，4－k，k≥4.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)有一个二重零点，求实数a，b满足的关系式．解(1)∵a＝1，b＝－2，∴f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1，∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)∵二次函数f(x)有一个二重零点，∴方程ax2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，从而Δ＝b2－4a(b－1)＝0，即b2＝4a(b－1)，此即实数a，b满足的关系式．19．(本小题满分12分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数型函数变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量．(1)随着时间t的增加，臭氧的含量是增加的还是减少的？(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失？(参考数据：ln0.5≈－0.69)解(1)对于函数Q＝Q0e－0.0025t，显然Q0.任取t1t2，则t2－t10，Q1Q2＝Q0e－0.0025t1Q0e－0.0025t2＝e－0.0025(t1－t2)＝e0.0025(t2－t1)e0＝1，所以Q1Q2.故随着时间t的增加，臭氧的含量是减少的．(2)令QQ0＝Q0e－0.0025tQ0＝e－0.0025t＝12，解得－0.0025t＝ln12≈－0.69，解得t＝276.故估计276年以后将会有一半的臭氧消失．20．(本小题满分12分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30h以内(含30h)每张球台90元，超过30h的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15h，也不超过40h.(1)设在甲家租一张球台开展活动xh的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动xh的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．(2)问选择哪家比较合算？为什么？解(1)f(x)＝5x,15≤x≤40；g(x)＝90，15≤x≤30，30＋2x，30x≤40.(2)当5x＝90时，x＝18，即当15≤x18时，f(x)g(x)；当x＝18时，f(x)＝g(x)；当18x≤40时，f(x)g(x)．∴15≤x18时，选甲家比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18x≤40时，选乙家比较合算．21．(本小题满分12分)有时可用函数f(x)＝0.1＋15lnaa－x，x≤6，x－4.4x－4，x6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．解(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝0.4x－3x－4，设g(x)＝0.4x－3x－4，h(x)＝(x－3)(x－4)，易知h(x)的图象是抛物线的一部分，在[7，＋∞)上单调递增，故g(x)在[7，＋∞)上单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的．(2)由f(6)＝0.85，可知0.1＋15lnaa－6＝0.85，整理得aa－6＝e0.05，解得a＝6e0.05e0.05－1≈123.又123∈(121,127]，所以该学科是乙学科．22．(本小题满分12分)设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．解原方程⇔x－10，3－x0，a－x0