一次函数中的面积问题

1学情分析基础，对于知识不能灵活运用课题一次函数关于面积问题学习目标与考点分析学习目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合学习重点重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程一、本节内容导入一次函数相关的面积问题画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。规则图形（公式法）不规则图形（切割法）不含参数问题含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。二、典例精讲一、利用面积求解析式1、直线bxy2与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=________.（分类讨论）由于b值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。1922bSb221362Sb2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过原点，与线段AB交于点C，把,△AOB的面积分为2：l两部分，求直线名的解析式．由于题目中的哪一部分的面积大，没有交代，引出分类讨论。A(-3,0)B(0,3)Saob=9/2设L:y=kx11113232BOCAOBSOBCDS所以1CD=1，C1(-1,y),代入y=x+3，y=2所以C1(-1,2)同理：C2(-2,1)3、如图,已知直线PA：)0(nnxy与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线xnmmxy与)(2轴交于B,与直线PA交于P求:(1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示)(2)若AB=2,且S四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。两点间的距离公式：AB=ABxx或AB=AByyAB=ABxx=()2mn=2再根据四边形面积公式建立等式。求解m，n4、已知直线2xy与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线bkxy)0(k经过点)0,1(C，且把AOB分成两部分（1）若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k和b的值答案：（1）2,2bk（2）①32,32bk②2,2bk5、已知一次函数332yx的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线ykxb经过OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果AOBDOCSS，求直线ykxb的解析式．EDOC2C1BA3二、利用解析式求面积1、直线bkxy过点A（－1，5）和点)5,(mB且平行于直线xy，O为坐标原点，求AOB的面积.2、如图，所示，一次函数bkxy的图像经过A，B两点，与x轴交于C求：（1）一次函数的解析式；（2）AOC的面积3、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。4、如图，直线y＝-34x+4与y轴交于点A，与直线y＝54x+54交于点B，且直线y＝54x+54与x轴交于点C，求△ABC的面积。5、已知直线ykxb经过点A（0，6），且平行于直线2yx.（1）求该函数的解析式，并画出它的图象；（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；（3）若O为坐标原点，求直线OP解析式；（4）求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。BACO46、如图,已知直线PA：)0(nnxy与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线xnmmxy与)(2轴交于B,与直线PA交于P求:(1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示)(2)若AB=2,且S四边形PQOB=65,求两个函数的解析式.三、关于面积的函数关系1、已知点A（x，y）在第一象限内，且x+y=10，点B（4，0），△OAB的面积为S.（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图像；（2）△OAB的面积为6时，求A点的坐标；2、如图,正方形ABCD的边长为4,P为CD边上一点(与点D不重合)。设DP=x，（1）求APD的面积y关于x的函数关系式；（2）写出函数自变量x的取值范围；（3）画出这个函数的图象四、动点问题与一次函数面积1、如图(1),在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s.图(2)是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.(1)参照图(2),求a、b及图(2)中c的值;(2)求d的值;(3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q相遇时x的值;(4)当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.5AFEoyx(1)PQCBADx(秒)(2)20840caOS1(cm2)x(秒)(3)2240OS2(cm2)2、如图，直线L：221xy与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标。3、如图，直线6ykx与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。（1）求k的值；（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为278，并说明理由。4、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1yx与334yx交于点A，两条直线分别与x轴交于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）试求当BD=CD时D点的坐标；（3）如BDC的面积为ABC面积的两倍，则求此时D的坐标．5．如图，已知直线343yx与x轴相交于点A，与直线3yx相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断OPA的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与yP6点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．试求S与t之间的函数关系式．6.如图1，在平面直角坐标系中，已知点(043)A，，点B在x正半轴上，且30ABO∠．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点MN，作等边PMN△．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边PMN△的边长（用t的代数式表示），并求出当等边PMN△的顶点M运动到与原点O重合时t的值；五、通过面积求参数的值或范围1、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。2、在边长为2的正方形ABCD的边BC上，有一点P从B点运动到C点，设PB=x，图形APCD的面积为y，写出y与自变量x的函数关系式，并且在直角坐标系中画出它的图象3、如图1，在直角坐标系中，已知点A（6，0），又点B（x，y）在第一象限内，且x+y=8，设△AOB的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）画出图象．（图1）yAPMONBx7xyA1B1BANM1O（1）(24．如图，直线l1过A（0，2），B（2，0）两点，直线l2：ymxb过点（－1，0），且把AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，及自变量m的取值范围。(08西城二模)如图，函数4xy的图象分别交x轴，y轴于点N、M，过MN上的两点A、B分别向x轴作垂线与x轴交于1A（x1,0）），1B(x2,0)，(的左边在11BA),若114OAOB.(1)分别用含x1、x2的代数式表示1OAA的面积1S与1OBB的面积2S(2)请判断1OAA的面积1S与1OBB的面积2S的大小关系，并说明理由.解:设A（11,yx），B（22,yx），则4,42211xyxy.(1)21111111111(4)2222SOAAAxxxx.22222112221)4(2121xxxxBBOBS.-------------------2分.(2)有21SS.----------------------------------3分.理由如下:)(2)(2121222121xxxxSS=)4)((212121xxxx.---------------------5分.由题意知,21xx,且421xx.842-2-4-55QPOA所以,04,02121xxxx.可得2121,0SSSS即.-----------------------------------6分.课内练习与训练1、在直角坐标系中，有以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，1）为顶点的正方形，设此正方形在折线y=|x－a|＋a上侧部分的面积为S，画出图形并写出S关于a的函数关系式。2、在平面直角坐标系中，点A（4，0），点P（x，y）是直线321xy在第一象限的一点．（1）设△OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围．（2）在直线321xy求一点Q，使△OAQ是以OA为底的等腰三角形．（3）若第（2）问变为使△OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？3、已知:直线42xy与直线3xy,它们的交点C的坐标是________,设两直线与x轴分别交于A,B,则SΔABC=_______,设两直线与y轴交于P,Q,则SΔPCQ=_________.4、一次函数411xky与正比例函数xky22的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的三角形面积是________.5、如图，Rt△ABO的顶点A在直线(1)yxk上．AB⊥x轴于B，且S△ABO=32，AB:BO=3:1,点C在该直线上，且点C的横坐标是3，（1）点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）求△AOC的面积．6.已知直线1x33y与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰ABCRt，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。①求三角形ABC的面积ABCS；9②证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；③要使得ABC和ABP的面积相等，求实数a的值。7.如图1，在平面直角坐标系中，已知点(043)A，，点B在x正半轴上，且30ABO∠．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点MN，作等边PMN△．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边PMN△的边长（用t的代数式表示），并求出当等边PMN△的顶点M运动到与原点O重合时t的值；8．如图1在