2007年考研数学二真题

12007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试卷卷卷卷一一一一、、、、选择题选择题选择题选择题：（：（：（：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当0x+→时，与x等价的无穷小量是(A)1xe-.(B)1ln1xx+-.(C)11x+-.(D)1cosx-.【】(2)函数11()tan()()xxeexfxxee+=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x=(A)0.(B)1.(C)2π-.(D)2π.【】(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xFxftdt=∫则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4FF=--.(B)5(3)(2)4FF=.(C))2(43)3(FF====----.(D))2(45)3(--------====----FF.【】(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A)若0()limxfxx→存在，则f(0)=0.(B)若0()()limxfxfxx→+-存在，则f(0)=0.(C)若0()limxfxx→存在，则(0)f′存在.(D)若0()()limxfxfxx→--存在，则(0)f′存在【】(5)曲线1ln(1)xyex=++，渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【】(6)设函数f(x)在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.fx′′令),,2,1)((⋯========nnfun,则下列结论正确的是：(A)若12uu，则{}nu必收敛.(B)若12uu，则{}nu必发散.(C)若12uu，则{}nu必收敛.(D)若12uu，则{}nu必发散.【】(7)二元函数f(x,y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是(A)(,)(0,0)lim[(,)(0,0)]0xyfxyf→-=.2(B)0(,0)(0,0)lim0xfxfx→-=，且0(0,)(0,0)lim0yfyfy→-=.(C)22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0xyfxyfxy→-=+.(D)0lim[(,0)(0,0)]0xxxfxf→′′-=，且0lim[(0,)(0,0)]0yyyfyf→′′-=.【】(8)设函数f(x,y)连续，则二次积分1sin2(,)xdxfxydyππ∫∫等于(A)10arcsin(,)ydyfxydxππ+∫∫.(B)10arcsin(,)ydyfxydxππ-∫∫.(C)1arcsin02(,)ydyfxydxππ+∫∫.(D)1arcsin02(,)ydyfxydxππ-∫∫.【】(9)设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)133221,,αααααα------------.(B)133221,,αααααα++++++++++++.(C)1332212,2,2αααααα------------.(D)1332212,2,2αααααα++++++++++++.【】(10)设矩阵------------------------====211121112A,====000010001B,则A与B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.【】二二二二、、、、填空题填空题填空题填空题(11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)(11)30arctansinlimxxxx→-=.(12)曲线2coscos,1sinxttyt=+=+上对应于4tπ=的点处的法线斜率为.(13)设函数1,23yx=+则()(0)ny=.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2432xyyye′′′-+=的通解为.(15)设f(u,v)是二元可微函数，(,),yxzfxy=则zzxyxy∂∂-=∂∂.(16)设矩阵====0000100001000010A,则3A的秩为___________.3三三三三、、、、解答题解答题解答题解答题：17－24小题，共86分.(17)（（（（本题满分本题满分本题满分本题满分10分分分分））））设f(x)是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()100cossin()sincosfxxttftdttdttt--=+∫∫，其中1f-是f的反函数，求f(x).(18)（（（（本题满分本题满分本题满分本题满分11分分分分））））设D是位于曲线2(1,0)xayxaax-=≤+∞下方、x轴上方的无界区域。(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值.(19)（（（（本题满分本题满分本题满分本题满分10分分分分））））求微分方程2()yxyy′′′′+=满足初始条件(1)(1)1yy′==的特解。(20)（（（（本题满分本题满分本题满分本题满分11分分分分））））已知函数f(u)具有二阶导数，且(0)1f′=，函数y=y(x)由方程11yyxe--=所确定，设(lnsin)zfyx=-，求2002,.xxdzdzdxdx==（（（（21）（）（）（）（本题满分本题满分本题满分本题满分11分分分分））））设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在(,)abξ∈，使得()().fgξξ′′′′=（（（（22）（）（）（）（本题满分本题满分本题满分本题满分11分分分分））））设二元函数222,1,1(,),12,xxyfxyxyxy+≤=+≤+计算二重积分(,)Dfxydσ∫∫，其中{(,)2}.Dxyxy=+≤(23)(本题满分11分)设线性方程组====++++++++====++++++++====++++++++.04,02,03221321321xaxxaxxxxxx①与方程12321----====++++++++axxx②有公共解，求a的值及所有公共解．(24)(本题满分11分)4设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321----============λλλT)1,1,1(1----====α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记EAAB++++----====354其中E为3阶单位矩阵.(I)验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．(II)求矩阵Ｂ．52007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分析析析析、、、、详解和评注详解和评注详解和评注详解和评注一一一一、、、、选择题选择题选择题选择题：（：（：（：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当0x+→时，与x等价的无穷小量是(A)1xe-.(B)1ln1xx+-.(C)11x+-.(D)1cosx-.【】【答案答案答案答案】应选(B).【分析分析分析分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解详解详解详解】当0x+→时，有1(1)~xxeex-=---；111~2xx+-；2111cos~().22xxx-=利用排除法知应选(B).【评注评注评注评注】本题直接找出1ln1xx+-的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，20001lnln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1limlimlimxtxxtxxxttxtxx+++=→→→++--+---===22200212(1)111limlim1.1(1)(1)tttttttttt++→→+-+++-==+-完全类似例题见完全类似例题见完全类似例题见完全类似例题见《《《《经典讲义经典讲义经典讲义经典讲义》》》》P.28例例例例1.63,例例例例1.64,例例例例1.65及辅导班讲义例及辅导班讲义例及辅导班讲义例及辅导班讲义例1.6.(2)函数11()tan()()xxeexfxxee+=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x=(A)0.(B)1.(C)2π-.(D)2π.【】【分析分析分析分析】本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。【详解详解详解详解】f(x)在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x=0,1,.2π±6又111100()tantanlimlim1(1)1()xxxxxxeexxeexxeeee--→→++=⋅=⋅-=---，111100()tantanlimlim111()xxxxxxeexxeexxeeee++→→++=⋅=⋅=--，可见x=0为第一类间断点，因此应选(A).【评注评注评注评注】本题尽管可计算出12lim(),lim()xxfxfxπ→→±=∞=∞，从而1,2xπ=±均为第二类间断点，但根据四个选项的答案，已经确定x=0为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算。完全类似例题见完全类似例题见完全类似例题见完全类似例题见《《《《经典讲义经典讲义经典讲义经典讲义》》》》P.30例例例例1.69,P.32例例例例1.72及辅导班讲义例及辅导班讲义例及辅导班讲义例及辅导班讲义例1.11.(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xFxftdt=∫则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4FF=--.(B)5(3)(2)4FF=.(C))2(43)3(FF====----.(D))2(45)3(--------====----FF.【】【答案答案答案答案】应选(C).【分析分析分析分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解详解详解详解】根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：1(2)2Fπ=，F(3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228Fπππ=⋅-⋅==3(2)4F，，，，∫∫∫∫∫∫∫∫------------========----0330)()()3(dxxfdxxfF)3()(30Fdxxf========∫∫∫∫因此应选(C).【评注评注评注评注1】本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此2002(2)()()Ffxdxfxdx---==-∫∫，也为半径是1的半圆面积。可知(A)(B)(D)均不成立.【评注评注评注评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。完全类似例题见完全类似例题见完全类似例题见完全类似例题见《《《《经典讲义经典讲义经典讲义经典讲义》》》》P.152例例例例7.15,例例例例7.16，，，，例例例例7.18及辅导班讲义例及辅导班讲义例及辅导班讲义例及辅导班讲义例7.12(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A)若0()limxfxx→存在，则f(0)=0.(B)若0()()limxfxfxx→+-存在，则f(0)=0.7(C)若0()limxfxx→存在，则(0)f′存在.(D)若0()()li