2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√𝑥+∞2𝑑𝑥(B)∫𝑙𝑛𝑥𝑥+∞2𝑑𝑥(C)∫1𝑥𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑𝑥(D)∫𝑥𝑒𝑥+∞2𝑑𝑥【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。∫1√𝑥+∞2𝑑𝑥=2√𝑥|2+∞=+∞；∫𝑙𝑛𝑥𝑥+∞2𝑑𝑥=∫𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑(𝑙𝑛𝑥)=12(𝑙𝑛𝑥)2|2+∞=+∞；∫1𝑥𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑𝑥=∫1𝑙𝑛𝑥+∞2𝑑(𝑙𝑛𝑥)=ln(𝑙𝑛𝑥)|2+∞=+∞；∫𝑥𝑒𝑥+∞2𝑑𝑥=−∫𝑥+∞2𝑑𝑒−𝑥=−𝑥𝑒−𝑥|2+∞+∫𝑒−𝑥+∞2𝑑𝑥=2𝑒−2−𝑒−𝑥|2+∞=3𝑒−2，因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数𝑓(𝑥)=lim𝑡→0(1+𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥)𝑥2𝑡在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有𝑓(𝑥)=lim𝑡→0(1+𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥)𝑥2𝑡=𝑒lim𝑡→0𝑥2𝑡(1+𝑠𝑖𝑛𝑡𝑥−1)=e𝑥lim𝑡→0𝑠𝑖𝑛𝑡𝑡=𝑒𝑥(𝑥≠0),𝑓(𝑥)在𝑥=0处无定义，且lim𝑥→0𝑓(𝑥)=lim𝑥→0𝑒𝑥=1,所以𝑥=0是𝑓(𝑥)的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数𝑓(𝑥)={𝑥αcos1𝑥β,𝑥0，0,𝑥≤0(α0,𝛽0).若𝑓′(𝑥)在𝑥=0处连续，则(A)α−β1(B)0α−β≤1(C)α−β2(D)0𝛼−β≤2【答案】A【解析】易求出𝑓′(𝑥)={𝛼𝑥α−1cos1𝑥β+β𝑥α−β−1sin1𝑥β,𝑥0，0,𝑥≤0再有𝑓+′(0)=limx→0+𝑓(𝑥)−𝑓(0)𝑥=limx→0+𝑥α−1cos1𝑥β={0,α1,不存在，α≤1，𝑓−′(0)=0于是，𝑓′(0)存在⟺α1，此时𝑓′(0)=0.当α1时，limx→0𝑥α−1cos1𝑥β=0，limx→0β𝑥α−β−1sin1𝑥β={0,α−β−10,不存在，α−β−1≤0，因此，𝑓′(𝑥)在𝑥=0连续⟺α−β1。选A综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数𝑓(𝑥)在(-∞,+∞)内连续，其𝑓′′(𝑥)二阶导函数𝑓′′(𝑥)的图形如右图所示，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)的拐点个数为AOB𝑥(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】𝑓(𝑥)在(-∞,+∞)内连续，除点𝑥=0外处处二阶可导。𝑦=𝑓(𝑥)的可疑拐点是𝑓′′(𝑥)=0的点及𝑓′′(𝑥)不存在的点。𝑓′′(𝑥)的零点有两个，如上图所示，A点两侧𝑓′′(𝑥)恒正，对应的点不是𝑦=𝑓(𝑥)拐点，B点两侧𝑓′′(𝑥)异号，对应的点就是𝑦=𝑓(𝑥)的拐点。虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0))是y=f(x)的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数𝑓(μ,ν)满足𝑓(𝑥+𝑦,𝑦𝑥)=𝑥2−𝑦2，则∂𝑓∂μ|μ=1ν=1与∂𝑓∂ν|μ=1ν=1依次是(A)12,0(B)0,12(C)−12,0(D)0,−12【答案】D【解析】先求出f(μ,ν)令{μ=x+y,ν=yx,⇒{x=μ1+ν,y=μν1+ν,于是f(μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1)因此∂f∂μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0∂f∂ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2𝑥𝑦=1,4𝑥𝑦=1与直线𝑦=𝑥,𝑦=√3𝑥围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则∬f(x,y)dxdy=D(A)∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1sin2θ12sin2θrdr(B)∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1√sin2θ1√2sin2θrdr(C)∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1sin2θ12sin2θdr(D)∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1√sin2θ1√2sin2θdr【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x围成的平面区域，作极坐标变换，将∬f(x,y)dxdyD化为累次积分。D的极坐标表示为π3≤θ≤π4，1√sin2θ≤θ≤1√2sin2θ，因此∬f(x,y)dxdyD=∫dθπ3π4∫f(rcosθ,rsinθ)1√sin2θ1√2sin2θrdr综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=[11112𝑎14𝑎2],b=[1𝑑𝑑2]。若集合Ω={1,2}，则线性方程𝑨𝒙=𝒃有无穷多解的充分必要条件为(A)𝑎∉Ω,𝑑∉Ω(B)𝑎∉Ω,𝑑∈Ω(C)𝑎∈Ω,𝑑∉Ω(D)𝑎∈Ω,𝑑∈Ω【答案】D【解析】Ax=b有无穷多解⇔r(A|b)=r(A)3|A|是一个范德蒙德行列式，值为(a−1)(a−2),如果a∉Ω，则|A|≠0，r(A)=3，此时Ax=b有唯一解，排除(A),(B)类似的，若d∉Ω，则r(A|b)=3，排除(C)当a∈Ω,d∈Ω时，r(A|b)=r(A)=2，Ax=b有无穷多解综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。(8)设二次型𝑓(𝑥1,𝑥2,𝑥3)在正交变换𝒙=𝑷𝒚下的标准形为2y12+y22−y32,其中𝑷=(𝒆𝟏,𝒆𝟐,𝒆𝟑),若Q=(𝒆𝟏,−𝒆𝟑,𝒆𝟐)在正交变换𝒙=𝑸𝒚下的标准形为(A)2y12−y22+y32(B)2y12+y22−y32(C)2y12−y22−y32(D)2y12+y22+y32【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则𝑷−𝟏𝑨𝑷=𝑷𝑻𝑨𝑷=[20001000−1]可见𝒆𝟏,𝒆𝟐,𝒆𝟑都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-𝒆𝟑也是A的特征向量，特征值为-1，因此𝑸𝑻𝑨𝑸=𝑸−𝟏𝑨𝑸=[2000−10001]因此在正交变换𝒙=𝑸𝒚下的标准二次型为2y12−y22+y32综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。(9)设{𝑥=𝑎𝑐𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡,𝑦=3𝑡+𝑡3,则𝑑2𝑦𝑑𝑥2|𝑡=1=【答案】48【解析】由参数式求导法𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑦𝑡′𝑥𝑡′=3+3𝑡211+𝑡2=3(1+𝑡2)2再由复合函数求导法则得𝑑2𝑦𝑑𝑥2=𝑑𝑑𝑥[3(1+𝑡2)2]=𝑑𝑑𝑡[3(1+𝑡2)2]𝑑𝑡𝑑𝑥=6(1+𝑡2)∙2𝑡∙1𝑥𝑡′=12𝑡(1+𝑡2)2,𝑑2𝑦𝑑𝑥2|𝑡=1=48综上所述，本题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(10)函数𝑓(𝑥)=𝑥22𝑥在𝑥=0处的n阶导数𝑓(𝑛)(0)=【答案】𝑛(𝑛−1)(𝑙𝑛2)𝑛−2(𝑛=1,2,3,⋯⋯)【解析】解法1用求函数乘积的𝑛阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。𝑓(𝑛)(𝑥)=∑𝐶𝑛𝑘(𝑥2)𝑘(2𝑥)(𝑛−𝑘)𝑛𝑘=0其中𝐶𝑛𝑘=𝑛!𝑘!(𝑛−𝑘)!,注意(𝑥2)𝑘|𝑥=0=0(𝑘≠2)，𝐶𝑛2=𝑛(𝑛−1)2,于是𝑓(𝑛)(0)=𝐶𝑛2∙2∙(2𝑥)(𝑛−2)|𝑥=0=𝑛(𝑛−1)(𝑙𝑛2)𝑛−2(𝑛≥2)𝑓′(0)=0因此𝑓(𝑛)(0)=𝑛(𝑛−1)(𝑙𝑛2)𝑛−2(𝑛=1,2,3,⋯⋯)解法2利用泰勒展开𝑓(𝑥)=𝑥22𝑥=𝑥2𝑒𝑥𝑙𝑛2=𝑥2∑(𝑥𝑙𝑛2)𝑛𝑛!∞𝑛=0=∑𝑙𝑛𝑛2𝑛!𝑥𝑛+2=∞𝑛=0∑𝑙𝑛𝑛−22(𝑛−2)!𝑥𝑛∞𝑛=2由于泰勒展开系数的唯一性，得𝑙𝑛𝑛−22(𝑛−2)!=𝑓(𝑛)(0)𝑛!可得𝑓(𝑛)(0)=𝑛(𝑛−1)(𝑙𝑛2)𝑛−2(𝑛=1,2,3,⋯⋯)综上所述，本题正确答案是𝑛(𝑛−1)(𝑙𝑛2)𝑛−2(𝑛=1,2,3,⋯⋯)【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数𝑓(𝑥)连续，φ(𝑥)=∫𝑥𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥20.若φ(1)=1，φ′(1)=5,则𝑓(1)=【答案】2【解析】改写φ(𝑥)=𝑥∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥20,由变限积分求导法得φ′(𝑥)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥20+𝑥𝑓(𝑥2)∙2𝑥=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥20+2𝑥2𝑓(𝑥2)由φ(1)=1=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡10，φ′(1)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡10+2𝑓(1)=1+2𝑓(1)可得𝑓(1)=2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用(12)设函数y=y(𝑥)是微分方程𝑦′′+𝑦′−2𝑦=0的解，且在𝑥=0处y(𝑥)取得极值3，则y(𝑥)=【答案】𝑒−2𝑥+2𝑒𝑥【解析】求y(𝑥)归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题{𝑦′′+𝑦′−2𝑦=0y(0)=3，𝑦′(0)=0由特征方程λ2+λ−2=0可得特征根λ1=−2，λ2=1，于是得通解𝑦=𝐶1𝑒−2𝑥+𝐶2𝑒𝑥又已知{𝐶1+𝐶2=3−2𝐶1+𝐶2=0⇒𝐶1=1，𝐶2=2综上所述，本题正确答案是𝑒−2𝑥+2𝑒𝑥【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程(13)若函数𝑧=𝑧(𝑥,𝑦)由方程𝑒𝑥+2𝑦+3𝑧+𝑥𝑦𝑧=1确定，则dz|(0,0)=【答案】−13𝑑𝑥−23𝑑𝑦【解析】先求𝑧(0,0)，在原方程中令𝑥=0,𝑦=0得𝑒3𝑧=1⇒𝑧(0,0)=0方程两边同时求全微分得𝑒𝑥+2𝑦+3𝑧(𝑑𝑥+2𝑑𝑦+3𝑑𝑧)+𝑥𝑦𝑑𝑧+𝑦𝑧𝑑𝑥+𝑥𝑧𝑑𝑦=0令𝑥=0,𝑦=0,𝑧=0得dx+2dy+3dz|(0,0)=0dz|(0,0)=−13𝑑𝑥−23𝑑𝑦综上所述，本题正确答案是−13𝑑𝑥−23𝑑𝑦【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，𝑩=𝑨𝟐−𝑨+𝑬,其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=【答案】21【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1所以|B|=21【考点】线性代数—行列式—行列式计算线性代数—矩阵—矩阵的特征值三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)设函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑙𝑛(1+𝑥)+𝑏𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑔(𝑥)=𝑘𝑥