北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷

东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高三数学2023.1本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{12}Axx，{1}Bxx，则AB（A）(,2)（B）(1,)（C）(1,1]（D）[1,2)（2）在下列函数中，为偶函数的是（A）()cosfxxx（B）()cosfxxx（C）()lnfxx（D）()fxx（3）在1()nxx的展开式中，若第3项的系数为10，则n（A）4（B）5（C）6（D）7（4）在等比数列{}na中，11a，238aa，则7a（A）8（B）16（C）32（D）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（A）111（B）19（C）311（D）13（6）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PMx轴，垂足为M．若OMP△的面积为625，则sin2（A）625（B）1225(C)1825（D）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，其渐近线方程为2yx，P是C上一点，且12PFPF.若△12PFF的面积为4，则C的焦距为（A）3（B）23（C）25（D）45（8）在△ABC中，“对于任意1t，BAtBCAC”是“△ABC为直角三角形”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy中，若点(,)Pab在直线430axbya上，则当,ab变化时，直线OP的斜率的取值范围是（A）33(,][,)33（B）33[,]33（C）55(,][,)22（D）55[,]22（10）如图，在正方体1111ABCDABCD中，Q是棱1DD上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q，使得11//CQAC；②存在点Q，使得11CQAC；③对于任意点Q，Q到1AC的距离为定值；④对于任意点Q，△1ACQ都不是锐角三角形.（A）①③（B）②③（C）②④（D）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若复数z满足(i)i3z，则____.z（12）已知函数()3sincosfxxx，则()3f；若将()fx的图象向左平行移动6个单位长度后得到()gx的图象，则()gx的一个对称中心为.（13）经过抛物线22(0)ypxp焦点F的直线与抛物线交于不同的两点,AB，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，则点B的纵坐标By与点D的纵坐标Dy的大小关系为ByDy.(用“”“”“”填写）（14）设函数21,,()1,.xxafxxaxa当0a时，fx的值域为__________；若fx的最小值为1，则a的取值范围是___________.（15）对于数列na，令11234(1)nnnTaaaaaL，给出下列四个结论：①若nan，则20231012T；②若nTn，则20221a；③存在各项均为整数的数列na，使得1nnTT对任意的nN都成立；④若对任意的Nn，都有nTM，则有12nnaaM.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在锐角△ABC中，4B，36,6ABAC，点D在BC边的延长线上，且CD＝10.（Ⅰ）求ACB；（Ⅱ）求△ACD的周长．FEBCPAD（17）（本小题15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，2PA，PAAB，E为BC的中点，F为PD上一点，EF平面PAB.（I）求证：F为PD的中点；（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的正弦值.条件①：ADPB；条件②：23PC.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的人数，求ξ的分布列和数学期望E；（Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，长轴长与短轴长的和为6，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，(1,0)M.若1PF，PM，2PF成等差数列，求实数的取值范围.（20）（本小题15分）已知函数exfxx.（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求fx的极值；（Ⅲ）证明：当1m时，曲线1:()Cyfx与曲线2:lnCyxxm至多存在一个交点.（21）（本小题15分）已知数列12nAaaa：，，，L，满足：{01}(122)iainn，，，，，，从A中选取第1i项、第2i项、…、第mi项（122miiim，），称数列12,,,miiiaaa为A的长度为m的子列．记()TA为A所有子列的个数.例如001A：，，，其()3TA.（Ⅰ）设数列1100A：，，，，写出A的长度为3的全部子列，并求()TA；（Ⅱ）设数列12nAaaa：，，，L，11nnAaaa：，，，L，12nAaaa：1，1，，1L，判断()()()TATATA，，的大小，并说明理由；（Ⅲ）对于给定的正整数(11)nkkn，，若数列12nAaaa：，，，L满足：12naaakL，求()TA的最小值.