【数学参考答案】长沙市2023 年新高考适应性考试

1长沙市2023年新高考适应性考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B解析：由3(3)(1)121(1(1))iiiziiii+++===+−−+，可得||5z=．2．【答案】C解析：联立3yxyx==，解得00xy==，或11xy==，或11xy=−=−，即{(0,0),(1,1),(1,1)}AB=−−∩，共有3个元素．3．【答案】C解析：由222241log2log1.8log3.24log3.6log3.62===，可得cab．4．【答案】D解析：4(12)x−的展开式的通项为144(2)(2)kkkkkkTCxCx+=−=−，则41(2)(12)xx−−的展开式中的常数项为110044(2)2(2)10CC−−×−=−．5．【答案】A解析：观察图象，可知11BDABAAAD=−++，ACABAD=+，则22111161097.510.5ACBDABAAABADAAAD=−+++=−+++=iii．6．【答案】A2解析：由1tan()tantan()1444tan(())tan()442tan1tan()1tantan()444πππααπππααπππααα−−−−==−−=−=+−+−，可得tan2α=，则222222cossin1tan3cos2cossin1tan5ααααααα−−===−++．7．【答案】C解析：由202220212023202320222024202320252023202420232022223LFFFFLFFFFFF=+=−=+=+=+，解得2023202220241155FLL=+．8．【答案】D解析：设点P坐标为(,)xy，由22||2||12PAPO+=，可得2222(3)2()12xyxy−+++=，化简得22(1)2xy−+=，即点P的轨迹为以(1,0)为圆心，2为半径的圆；又由||2||POPB=，可得22222()xyxyt+=+−，化简得222(2)2xytt+−=，即点P的轨迹为以(0,2)t为圆心，2t为半径的圆．由题意，结合图形可知，两圆外离或内含．当两圆外离时，21422tt++，解得612t+；当两圆内含时，214|22|tt+−，解得6012t−．综上，可知t的取值范围是66(0,1)(1,+)22−+∞∪．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC解析：易知8a=，4b=，45c=，则渐近线方程为2yx=±，即A错误；焦距为285c=，即B正确；离心率52cea==，即C正确；可求得焦点到渐近线的距离4d=，即D错误．10．【答案】ACD解析：观察散点图，便知大气压强与海拔高度负相关，即A正确．3通过经验回归方程14.068.5yx=−+，可知海拔每升高1千米，大气压强降低约为4.0kPa，即B错误；当11x=时，代入方程计算可得预测值ɵ24.5y=，则残差ɵ22.61.9ey=−=−ɵ，即C正确．随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此，选择方程0.1632132.9xye−=更合适，即D正确．11．【答案】ABD解析：对于A选项，由函数xye=与11xyx−=+满足性质1()()fxfx−=，则1x与1x−都为函数11xxxye−+=−的零点，有21xx=−，即A正确；对于B选项，由函数lnyx=与11xyx−=+都满足性质1()()ffxx=−，则3x与31x都为函数11lnxxyx−+=−的零点，有431xx=，即B正确；对于C选项，如图，由函数xye=与lnyx=关于直线yx=对称，可得13lnxx=，有31ln1xx=，即C错误；对于D选项，同上，由12240lnxxxx+==，可得14ln0xx+=，有141xxe=，即D正确．12．【答案】ACD解析：对于A选项，当平面PDE⊥平面BCED时，四棱锥PBCED−的体积最大，此时4体积1(24)33332V+×=××=，即A正确．如上左图，设,MN分别为,BCDE的中点，对于B选项，设平面PDE∩平面PBCl=，则l∥BC，有lMN⊥，lPM⊥，可得l⊥平面PMN，即NPM∠为平面PDE与平面PBC所成的二面角，由PNNM=可知，90NPM∠≠°，即B错误．对于C选项，过P作MN的垂线，垂足为H，则PH⊥平面BCED，则PBH∠为直线PB与平面BCED的所成角．依题意可知，22PBPC==，2PM=，3PNNM==，在PMN
中，由余弦定理可得3cos3PMN∠=，有6sin3PMN∠=；在PMH
中，26sin3PHPMPMN=∠=，从而直线PB与平面BCED所成角的正弦值为33PHPB=，即C正确．对于D选项，当10PB=时，由7BN=，可知222PNBNPB+=，即PNBN⊥，又PNDE⊥，且BNDEN=∩，则PN⊥平面BCED，又PN⊂平面PDE，则平面PDE⊥平面BCED．设四棱锥PBCED−的外接球球心为O，PDE
的外心为G，如上右图，易知点M为等腰梯形BCED的外心，则四边形OGNM为矩形，且1333OMGNPN===，可得2222133ROBOMMB==+=，从而所求外接球的表面积为523π，即D正确．三．填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【答案】52解析：由2(5,2)ab+=−，可得(2)520cabλ+=−=i，解得52λ=．14．【答案】35解析：依题意，()2sin()=066fππωϕ=+，解得11=,6kkZπωϕπ+∈①；()2sin()=133fππωϕ=+±，解得22=,32kkZππωϕπ++∈②．将①②式两边同时相减，解得211236(),,kkkZkZω=+−∈∈，当12kk=时，ω取最小值为3．15．【答案】916解析：如图，根据抛物线的定义，||2ApAFx=+，而||cos602ApxAF=+°，则||21cos60pAFp==−°，32Apx=．同理2||1cos603ppBF==+°，6Bpx=．DBAOFxy法1：由||3||4AFAB=，且||3||4AADAOxADxx==−，即||||||||AFAOABAD=，可得OF∥BD，则AOF
∽ADB
，从而212||9()||16SAFSAB==．法2：求得3Ayp=，33BDyyp==−，则2113||24ASOFyp=⋅=，22143||()29ABSDByyp=⋅−=，可得12916SS=．16．【答案】1[,)ln2eee−解析法1：令()tfx=，画出函数()fx的图象，由()fta=，可知：6当0a时，方程()fta=只有一个实根11ta=−−，则方程()fxt=也只有一个实根，不合题意．当0a=时，方程()fta=有两个实根，11t=−，20t=，则方程1()fxt=有一个实根，方程2()fxt=有两个实根，不合题意．当0ln2a时，方程()fta=有两个实根，110ta=−，21(0,1)ate=−∈，则方程1()fxt=有一个实根，方程2()fxt=有两个实根，不合题意．当ln21a≤时，方程()fta=有两个实根，11[ln21,0)ta=−∈−，21[1,1)atee=−∈−，则方程1()fxt=有一个实根1x，方程2()fxt=有一个实根2x，符合题意．此时，112xta+==，2ln(1)1axe+=−，有22111ln()ln(1)ln(2)ln12axxxeax+=+−+=−−+．设()ln1agaea=−−，则1'()agaea=−．由'()ga单调递增，可得1'()'(ln2)20ln2gag≥=−，则()ga单调递增，有()[1ln(ln2),1)gae∈−−，即1211[,)2ln2exeex−+∈+．当1a≥时，方程()fta=有一个实根111atee=−≥−，方程()fxt=只有一个实根，不合题意．综上可知，1211[,)2ln2exeex−+∈+．法2：设()(())gxffx=，则2,1()ln(2),10ln(ln(1)1),0xxgxxxxx+−=+−≤++≥，作出图象如下，易知[ln2,1)a∈．7由12xa+=，2ln(ln(1)1)xa++=，即121aexe−+=，可得12112aexexa−+=+．设1(),[ln2,1)aeeaaaϕ−=∈，则12(1)'()0aeaeaeaaϕ−−=，可得函数()aϕ单调递增，有1()[,)ln2eeaeϕ−∈，即1211[,)2ln2exeex−+∈+．四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）解析（1）设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，依题意可知111,2ab==，且122212211dqdq+=++=，消去q化简得45dd+=．又函数()4xfxx=+在(,)−∞+∞单调递增的函数，且(1)5f=，则1d=，2q=．因此，1(1)1nann=+−×=，1222nnnb−=⋅=．................................................5分（2）依题意，1212222nnSn=×+×++×⋯①，两边同时乘以公比2，得23121222(1)22nnnSnn+=×+×+−×+×⋯②，将①，②两边同时相减得23112(12)22222212nnnnnSnn++−−=++++−×=−×−⋯1=(1)22nn+−−，故1=(1)22nnSn+−+．.......................................................................................................10分18．（本题满分12分）解析（1）由正弦定理，可得3abcabac−=+−，整理得2223acbac+−=．由余弦定理，可得2223cos22acbBac+−==，解得6Bπ=．................................................................5分8（2）法1：由正弦定理sinsinsinabcABC==，即2sinsinsin6bcACπ==，可得1sinbA=，52sin()2sin3sincoscos63sinsinsinsinACAAAcAAAAπ−+====+，则22cos1cos12333sin2sincostan222AAbcAAAA++=+=+=+．在锐角ABC
中，由025062ACAπππ=−，解得32Aππ，即624Aππ．又函数tanyx=在(,)64ππ上单调递增，则3tan(,1)23A∈，可得(31,23)bc+∈+，故ABC
的周长的取值范围(33,232)++．..............................................................12分法2：过点B作BDAC⊥于点D，设ABDα∠=，则30CBDα∠=°−．在Rt△BCD中，2cos(30)BDα=°−，2sin(30)CDα=°−；在Rt△ABD中，2cos(30)coscosBDABABDαα°−==∠，tan2cos(30)tanADBDABDαα=⋅∠=°−⋅．从而，2cos(30)2cos(30)2sin302sin(30)2cos(30)tancoscosbcααααααα°−°−+°+=°−+°−⋅+=sincos2cos(30)2sin303cossin11sin2233coscoscoscossin22αααααα