北京朝阳区2023年高三上学期期末数学试题及答案

高三数学参考答案第1页（共8页）北京市朝阳区20222023学年度第一学期期末质量检测高三数学参考答案2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）D（5）D（6）A（7）B（8）C（9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）24（12）5n−10（13）34（14）14y=−4（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为sin3coscBbC=，所以sinsin3sincosCBBC=．又因为(0,π)B，所以sin0B．所以tan3C=．又因为(0,)C，所以π3C=．（Ⅱ）因为6ab+=，π3C=，由余弦定理2222coscababC=+−，得22π()22cos3633cabababab=+−−=−．因为2()92abab+=≤，当且仅当3ab==时等号成立，所以29c≥，解得3c≥．所以c的最小值为3．高三数学参考答案第2页（共8页）（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件1A为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．根据题中数据，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次．所以1()PA估计为51102=．（Ⅱ）设事件kA为“高三（k）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，1,2,3,4k=．根据题中数据，2()PA估计为2142=，3()PA估计为2142=，4()PA估计为4263=．根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且12341234(0)()()()()()PXPAAAAPAPAPAPA===；1234123412341234(1)()()()()PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA==+++12341234()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPA=[phone]()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPA++；1234123412341234(3)()()()()PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA==+++12341234()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPA=[phone]()()()()()()()()PAPAPAPAPAPAPAPA++；12341234(4)()()()()()PXPAAAAPAPAPAPA===；(2)1(0)(1)(3)(4)PXPXPXPXPX==−=−=−=−=．所以，(0)PX=估计为124；(1)PX=估计为524；(3)PX=估计为724；(4)PX=估计为112；(2)PX=估计为38．所以EX估计为153715182181301234242482412246+++++++==．（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大．高三数学参考答案第3页（共8页）（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PA的中点K,连接KF,KB.因为K,F分别是PA,PD的中点,所以//KFAD且12KFAD=.又//BEAD且12BEAD=，所以//KFBE且KFBE=.故四边形BEFK为平行四边形.所以//EFBK.又因为EF平面PAB，BK平面PAB，所以//EF平面PAB.（Ⅱ）取AD中点O，连接OP,OE.在PAD△中，因为PAPD=，所以POAD⊥.又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，所以PO⊥平面ABCD.故OPOA⊥,OPOE⊥.又在正方形ABCD中，OEOA⊥,所以OA,OE,OP两两垂直.如图建立空间直角坐标Oxyz−，设(0,0,2)(0)Ptt，则(0,0,0)O,(2,4,0)B,(2,0,0)D−,(0,4,0)E,(1,0,)Ft−.所以(2,0,0)EB=，(1,4,)EFt=−−，(2,0,2)DPt=.设平面BEF的法向量为000(,,)xyz=n，则0,0,EBEF==nn即000020,40.xxytz=−−+=令0yt=，则00x=,04z=．于是(0,,4)t=n．又因为平面ABE的一个法向量为(0,0,1)=m，高三数学参考答案第4页（共8页）所以24cos,||||16t==+mnmnmn．选择条件①：PDEF⊥．则0EFDP=，即2220t−+=．又0t，所以1t=．此时417cos,17=mn．由题知二面角FBEA−−为锐角，所以其余弦值为41717．选择条件②：23PDEF=．则22222322214tt+=−+−+（）（）（），得21t=．此时417cos,17=mn．由题知二面角FBEA−−为锐角，所以其余弦值为41717．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为AOP△面积的最大值为12ab，所以112ab=．又因为2a=，222cab=−，所以1b=，3c=．所以椭圆C的方程为2214xy+=，离心率为32．（Ⅱ）①当直线PH的斜率不存在时，直线PH的方程为1x=−．显然APQ△∽AEF△．因为||3PQ=，所以223||||233EFPQ==．不合题意．②当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为(1)ykx=+．由22(1),44ykxxy=++=得2222(14)8(44)0kxkxk+++−=．显然0．高三数学参考答案第5页（共8页）设11(,)Pxy，22(,)Qxy，且12x，则2122814kxxk+=−+，21224414kxxk−=+．直线AP的方程为11(2)2yyxx=−−．令0x=，得点E的纵坐标1122Eyyx−=−，则112(0,)2yEx−−．直线AQ的方程为22(2)2yyxx=−−．同理可得222(0,)2yFx−−．所以122112121222(2)(2)||||2||22(2)(2)yyyxyxEFxxxx−−−−−=−=−−−−211212(1)(2)(1)(2)2||(2)(2)kxxkxxxx+−−+−=−−1212126||||22()4xxkxxxx−==−++．所以1212123|||||2()4|kxxxxxx−=−++．即2121212123()42()4kxxxxxxxx+−=−++．可得2222222228444483||()4|24|14141414kkkkkkkkk−−−−=++++++．化简得2222431363||1414kkkkk+=++．解得66k=．所以直线PH的方程为610xy−+=或610xy++=．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为(0,)+．由ln()xfxax=得21ln()xfxax−=．令()0fx=得ex=．因为0a，所以当(0,e)x时，()0fx；当(e,)x+时，()0fx．所以()fx的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+．高三数学参考答案第6页（共8页）（Ⅱ）由0a，依题意，2ln0xaxx−+≤在(0,)x+上恒成立．设2()lngxxaxx=−+，则2121()21axxgxaxxx−++=−+=．令()0gx=，得111804axa−+=（舍），211804axa++=．当2(0,)xx时，()0gx，所以()gx在2(0,)x上单调递增；当2(,)xx+时，()0gx，所以()gx在2(,)x+上单调递减．故2max2222()()lngxgxxaxx==−+．又由2()0gx=得22212xax+=．所以22222211()lnln22xxgxxxx+−=−+=+．依题意需max()0gx≤，即221ln02xx−+≤．设1()ln2thtt−=+，则易知()ht在(0,)+为增函数．又(1)0h=，所以对任意的(0,1]t，有()0ht≤；对任意的(1,)t+，有()0ht．所以201x≤，即118014aa++≤，解得1a≥．所以a的取值范围为[1,)+．（Ⅲ）由211212lnln0()xxxxxx+=得1212lnln0xxxx+=，且11x,21x．由（Ⅱ）知，当1a=时，ln1xxx−≤，当且仅当1x=时取等号．所以111ln1xxx−，222ln1xxx−．两式相加得122112lnln2xxxxxx++−，即1220xx+−．故122xx+．高三数学参考答案第7页（共8页）（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）55a=，66a=，77a=，88a=．（Ⅱ）对任意4n，存在{1,2,,1}in−，使得niniaaa−=+．若4i或4ni−，则ia或nia−又可以写成数列中某两项的和，如1212()iiiaaaiii=++=．依此类推，存在12,,,{1,2,3,4}kjjj，使得12knjjjaaaa=+++，其中12kjjjn+++=．所以存在1234,,,ppppN，使得11223344napapapapa=+++，且1234234ppppn+++=．设44at=，则当4n≤时，nant≤．当4n时，112233441234234napapapapaptptptpt=++++++≤1234(234)pppptnt=+++=．所以，对任意nN，均有nant≤，即44naan≤．（Ⅲ）令nnbnta=−，其中44at=．由（Ⅱ）知0nb≥，40b=.由4(1)44(1)4[4(1)][(4)]ikikikikbbiktaikta++++++−=++−−+−4(1)4444(1)4()0ikikikiktaaaaa++++++=−+=+−≤，得44(1)ikikbb+++≥．所以，当1,2,3,4i=时，480iiibbb++≥≥≥≥.由（Ⅱ）知123411223344(234)()nbpppptpapapapa=+++−+++11223344()(2)(3)(4)ptaptaptapta=−+−+−+−11223344pbpbpbpb=+++.高三数学参考答案第8页（共8页）若12340bbbb====，则0nb=．此时nant=，当4n时，44nnaaa−=+.若123,,bbb不全为0，设123max{,,}Mbbb=，m为123,,bbb中最小的正数，则nbM≤．当某个0ib时，必有iMpm≤．否则iMpm，则niiMbpbmMm=≥.设不超过Mm的最大整数为0N，则11223344pbpbpbpb+++能表示的不同值的个数不超过40(1)N+．所以，对每一个1,2,3,4i=，48,,,iiibbb++只能取有限多个值.所以存在0kN，当0,pkpN≥时，4ipb+为常数．令044Nk=+，则当nN时，4nnbb+=，即4(4)nnntanta++−=−．故44nnaaa−=+．