北京西城区2023年高三上学期期末数学试题及答案

北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第1页（共6页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学2023.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集{2,1,0,1,2,3}U，集合2{|2}AxxZ≤，则UA（A）{1,0,1}（B）{2,2,3}（C）{2,1,2}（D）{2,0,3}（2）设复数3iz，则复数iz在复平面内对应的点的坐标是（A）(1,3)（B）(1,3)（C）(3,1)（D）(3,1)（3）已知函数()lg||fxx，则()fx（A）是奇函数，且在(0,)上是增函数（B）是奇函数，且在(0,)上是减函数（C）是偶函数，且在(0,)上是增函数（D）是偶函数，且在(0,)上是减函数（4）已知双曲线22:33Cxy，则C的焦点到其渐近线的距离为（A）2（B）3（C）2（D）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第2页（共6页）（5）设,xyR，且01xy，则（A）22xy（B）tantanxy（C）42xy（D）1(2)xyyx（6）在ABC△中，若4c，1ba，1cos4C，则ABC△的面积是（A）1（B）34（C）15（D）3154（7）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天024~时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数10290,012,5624,1224ttytt≤≤≤描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（A）5小时（B）6小时（C）7小时（D）8小时（8）设,均为锐角，则“2”是“sin()sin”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在ABC△中，1,90ACBCC．P为AB边上的动点，则PBPC的取值范围是（A）1[,1]4（B）1[,1]8（C）1[,2]4（D）1[,2]8北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第3页（共6页）（10）如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．1是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，2是正方形CDEF及其内部的点构成的集合．设1AB，给出下列三个结论：①1M,2N，使2MN；②1M,2N，使EMBN；③1M,2N，使EM与BN所成的角为60．其中所有正确结论的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第4页（共6页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）341()xx的展开式中常数项为_______．（用数字作答）（12）已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l．则以点F为圆心，且与直线l相切的圆的方程是_______．（13）已知{}na是等差数列，15a，且2342,4,6aaa成等比数列，则6a_______；{}na的前n项和nS________．（14）设函数2,1,()(2)1,1.xaxfxaxx≤若2a，则()fx的单调递增区间是_______；若()fx的值域为(,)，则a的取值范围是________．（15）人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logisticmodel”：0000()(0)()ertKKxfttxxK≥，其中00,,Krx均为正常数，且0Kx，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：①0(0)fx；②()ft在[0,)上是增函数；③[0,)t，()ftK．其中所有正确结论的序号是_______．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第5页（共6页）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数22()2sin(cossin)3cos222xxfxxx．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x，且()1fx，求x的取值范围．（17）（本小题14分）如图，四边形ABCD为梯形，//ABCD，四边形ADEF为平行四边形．（Ⅰ）求证：//CE平面ABF；（Ⅱ）若AB平面ADEF，AFAD，1AFADCD，2AB，求：（ⅰ）直线AB与平面BCF所成角的正弦值；（ⅱ）点D到平面BCF的距离．（18）（本小题13分）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：12月1月2月3月4月5月轿车28.421.315.426.016.721.0MPV0.80.20.20.30.40.4SUV18.113.711.718.111.314.5（Ⅰ）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；（Ⅱ）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望EX；（Ⅲ）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为21s，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为22s，写出21s与22s的大小关系．（结论不要求证明）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学第6页（共6页）（19）（本小题15分）如图，已知椭圆2222:1(0)yxEabab的一个焦点为1(0,1)F，离心率为22．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点1F作斜率为k的直线交椭圆E于两点,AB，AB的中点为M．设O为原点，射线OM交椭圆E于点C．当ABC△与ABO△的面积相等时，求k的值．（20）（本小题15分）已知函数()lneexfxaxx，其中aR．（Ⅰ）当0a时，求曲线()yfx在点(,())11f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，判断()fx的零点个数，并加以证明；（Ⅲ）当0a时，证明：存在实数m，使()fxm≥恒成立．（21）（本小题15分）已知12:,,,(4)nnAaaan≥为有穷数列．若对任意的{0,1,,1}in，都有1||1iiaa≤（规定0naa），则称nA具有性质P．设{(,)|||1,22(,1,2,,)}ijnaaTijjinijn≤≤≤．（Ⅰ）判断数列4:1,0.1,1.2,0.5A，5:1,2,2.5,1.5,2A是否具有性质P？若具有性质P，写出对应的集合nT；（Ⅱ）若4A具有性质P，证明：4T；（Ⅲ）给定正整数n，对所有具有性质P的数列nA，求nT中元素个数的最小值．北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第1页（共6页）北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）B（5）D（6）D（7）C（8）C（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）4（12）22(1)4xy（13）526nn（14）(1,2](0,2]（15）①②③（选①②③得5分；只选出其中1个得2分；只选出其中2个得3分）注：（13）（14）题第一空3分，第二空2分；其中（14）题第一空答(1,2)也正确。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）22()2sin(cossin)3cos222xxfxxx2sincos3cos2xxx………2分sin23cos2xx………4分π2sin(2)3x．………6分所以()fx的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为0πx，所以ππ5π2333x．………8分因为()1fx，所以π1sin(2)32x．………9分所以ππ7π2636x．………11分解得π3π124x，所以x的取值范围是π3π(,)124．………13分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第2页（共6页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）如图，在射线AB上取点P，使APDC．………1分由题设，得//APDC，所以四边形APCD为平行四边形．所以//PCAD且PCAD．………2分又四边形ADEF为平行四边形，所以//ADEF且ADEF．所以//PCEF且PCEF．………3分所以四边形PCEF为平行四边形，所以//PFCE．………4分因为CE平面ABF，PF平面ABF，所以//CE平面ABF．………5分（Ⅱ）（ⅰ）因为AB平面ADEF，所以,ABADABAF．又ADAF，所以,,ABADAF两两相互垂直．………6分如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(1,1,0)C，(0,0,1)F．所以(,,)110BC，(,,)201BF，(,,)200AB．………7分设平面BCF的法向量为(,,)xyzm，则0,0,BCBFmm即0,20.xyxz令1x，则1y，2z．于是(1,1,2)m．………9分设直线AB与平面BCF所成角为，则6sincos,6||||||||ABABABmmm．………11分所以直线AB与平面BCF所成角的正弦值为66．（ⅱ）因为//ABCD，所以直线CD与平面BCF所成角的正弦值为66．………12分所以点D到平面BCF的距离为6sin6dCD．………14分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第3页（共6页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为1(0.80.20.20.30.40.4)0.386x．故MPV月度零售销量超过x的月份为12月，4月，5月．………2分所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过x的概率为30.56．………4分（Ⅱ）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月．所以X的所有可能取值为0,1,2．………5分3335C1(0)10CPX，122335CC3(1)5CPX，212335CC3(2)10CPX．……8分所以X的分布列为X012P11035310故X的数学期望1366012105105EX．………10分（Ⅲ）2212ss．………13分北京市西城区2022—2023学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2221,2,2.ccaabc………3分解得2,1ab．………4分所以椭圆E的方程为2212yx．………5分（Ⅱ）直线AB的方程为1ykx．由221,22ykxxy得22(2)210kxkx．………7分设1122(,),(,)AxyBxy，则12222kxxk，121224()22yykxxk．………9分因为ABC△与ABO△的面积相等，所以点C和点O到直线AB的距离相等．所