州一中2023届第2期（数学）

书书书数学·第２　　　　页（共４页）绝密★启用前　　【考试时间：１２月２９日　　　１５：００—１７：００】红河州第一中学２０２３届高三年级第二次联考数学试卷　　命题人：贺启飞　陈浩　刘少林　马红兵　孙果香　马宏　张进　侯建胜审题人：红河州第一中学数学命题小组　　本试卷共４页，２２题。全卷满分１５０分。考试用时１２０分钟。注意事项：１答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。２选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。３非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。４考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求１已知ｉ为虚数单位，则ｉ２０２３１－ｉ＝Ａ－１２＋１２ｉＢ１２－１２ｉＣ１２＋１２ｉＤ１－ｉ２已知集合Ｍ＝｛ｘｙ＝ｌｇ（ｘ－１）｝，Ｎ＝｛ｙｙ＝ｌｇ（ｘ－１）｝，则Ｍ∩Ｎ＝Ａ（１，＋!）Ｂ（１０，＋!）ＣＤＲ３溶液酸碱度是通过ｐＨ计算的ｐＨ的计算公式为ｐＨ＝－ｌｇ［Ｈ＋］，其中［Ｈ＋］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升当胃酸中氢离子的浓度是２５×１０－２摩尔／升时，胃酸的ｐＨ为（参考数据：ｌｇ２≈０３）Ａ１５Ｂ１６Ｃ１９Ｄ２１４在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，△ＡＢＣ的面积为１２ｂ（ｂｓｉｎＢ－ａｓｉｎＡ－ｃｓｉｎＣ），则角Ｂ＝Ａπ６Ｂ５π６Ｃπ３Ｄ２π３５一个宿舍的６名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有Ａ１５种Ｂ２８种Ｃ３１种Ｄ６３种６函数ｙ＝ｆ（ｘ）在－３π２，３π[]２上的部分图象如图所示，则ｆ（ｘ）的解析式可能是Ａｆ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘＢｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘＣｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｅｘＤｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘｘ７圆台的上、下底面半径和高的长度之比为１４４，侧面积为１００π，则圆台的母线长是槡Ａ２０Ｂ２Ｃ１０２Ｄ１０８已知正数ｍ，ｎ满足ｍ∈（ｎ－１，１），ａ＝ｌｏｇｎｍ，ｂ＝ｌｏｇｎｍ２，ｃ＝（ｌｏｇｎｍ）３，则Ａａ＞ｂ＞ｃＢａ＜ｂ＜ｃＣｂ＜ａ＜ｃＤａ＜ｃ＜ｂ二、选择题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得５分，选对但不全的得２分，有选错的得０分９为了解某校学生在“学宪法，讲宪法”活动中的学习情况，对该校１０００名学生进行了一次测试，并对得分情况进行了统计，按照［５０，６０）、［６０，７０）、…、［９０，１００］分成５组，绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是Ａ图中的ｘ值为００２０Ｂ由直方图中的数据，可估计第７５百分位数是８５Ｃ由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为７５Ｄ由直方图中的数据，可估计这组数据的众数为７５１０已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）ω＞０，φ＜π()２的相邻两个零点之差为π２，且图象经过点３π８，()１，则下列关于函数ｆ（ｘ）的图象和性质的描述中，正确的是Ａ函数ｆ（ｘ）的解析式为ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋π()４　　Ｂ函数ｆ（ｘ）的零点为π８＋ｋπ２，ｋ∈ＺＣ函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝－π８对称　　Ｄ函数ｙ＝ｆｘ－π()８为奇函数１１已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ＝ａ１ｑｎ－１（其中ａ１，ｑ为非零常数，ｎ∈Ｎ），则下列说法正确的是Ａ若ｑ＜０，则｛ａｎ｝不是等比数列Ｂ若ｑ＝１，则｛ａｎ｝既是等差数列，也是等比数列Ｃ若ａ１＞０，０＜ｑ＜１，则｛ａｎ｝是递减数列Ｄ若｛ａｎ｝是递增数列，则ａ１＞０，ｑ＞１１２已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，Ｆ１Ｆ２＝２ｃ，Ｐ为右支上任一点，Ｏ为坐标原点，以下选项中正确的是ＡＰＦ１２－ＰＦ２２的最小值为４ａｃＢ若过Ｆ２的直线交Ｃ的右支于Ａ，Ｂ两点，则１ＡＦ２＋１ＢＦ２＝ａｂ２Ｃ若Ｏ到ＰＦ２的距离是Ｏ到ＰＦ１距离的２倍，且∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°，则Ｃ的离心率为槡３Ｄ若Ｃ的方程为ｘ２－ｙ２４＝１，过Ｏ的直线交Ｃ于Ｍ，Ｎ两点，Ｑ为圆（ｘ－３）２＋ｙ２＝１上任一点，则→ＱＭ·→ＱＮ的最大值为１５三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分）１３已知ｅ１，ｅ２是两个不共线的非零向量，若２ｅ１－ｅ２与ｅ１－ｔｅ２共线（ｔ∈Ｒ），则ｔ＝１４已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆ｘ２＋ｙ２２＝１的两个焦点，点Ｐ在椭圆上，若∠ＰＦ１Ｆ２＝１３５°，则点Ｐ到焦点Ｆ２的距离为数学·第１页（共４页）数学·第４　　　　页（共４页）１５核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”。它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同。现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为２％（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为４％，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的４５％，５５％，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是１６四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ是边长为２的正方形，ＳＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＳＤ＝２，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在棱ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ上，且ＳＥ＝ＥＡ，ＳＦ＝２ＦＢ，ＳＧ＝ＧＣ，过Ｅ，Ｆ，Ｇ三点的平面交棱ＳＤ于点Ｈ，则ＤＨ的长为＝四、解答题（共７０分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）１７（１０分）为了了解某城市７０后和８０后市民每周的体育锻炼时长情况，随机抽取了２００人进行调查，并按年龄段及周平均体育锻炼时间是否少于７小时，将调查结果整理成列联表，统计得出样本中周平均体育锻炼时间少于７小时的人数占４０％，７０后的样本人数占样本总数的９２０，８０后每周平均体育锻炼时间不少于７小时的样本有６０人（７０后指１９７０年至１９７９年出生的人构成的群体，８０后指１９８０年至１９８９年出生的人构成的群体）　　　　　　　　时间年龄段　　　　　　　少于７小时不少于７小时合计７０后８０后６０合计２００（１）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值α＝００５的独立性检验，分析周平均体育锻炼时间长短与年龄段是否有关联；（２）现从７０后的样本中按周平均体育锻炼时间是否少于７小时，用分层抽样的方法抽取６人做进一步访谈，然后从这６人中随机抽取３人进行体检，记抽取的３人中周平均体育锻炼时间不少于７小时的人数为Ｘ，求Ｘ的分布列及数学期望参考公式及数据：χ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０１００５００１０００５０００１ｘα２７０６３８４１６６３５７８７９１０８２８１８（１２分）如图，在扇形ＯＭＮ中，圆心角∠ＭＯＮ＝π３，Ａ是扇形弧上的动点（１）若ＯＡ平分∠ＭＯＮ时，求ｔａｎ∠ＯＡＭ的值；（２）若ＯＭ＝２，矩形ＡＢＣＤ内接于扇形，求矩形ＡＢＣＤ面积的最大值１９（１２分）如图，平面ＡＢＣＤ是圆柱ＯＯ１的轴截面，ＥＦ是圆柱的母线，ＡＦ∩ＤＥ＝Ｇ，ＢＦ∩ＣＥ＝Ｈ，∠ＡＢＥ＝６０°，ＡＢ＝ＡＤ＝２（１）求证：ＧＨ／／平面ＡＢＣＤ；（２）求平面ＡＢＦ与平面ＣＤＥ的夹角的余弦值２０（１２分）设首项为２的数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，前ｎ项积为Ｔｎ，且满足条件①：ａｎ＋１＝ｎ＋１ｎａｎ＋ｎ＋１；条件②：Ｓｎ＝ｎ＋２３ａｎ；条件③：Ｔｎ＋１＝ｎ＋２ｎａｎＴｎ请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（２）求证：数列１３Ｓ{}ｎ的前ｎ项和Ｍｎ＜１４参考公式：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝１６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）２１（１２分）已知抛物线Ｃ：ｙ２＝－８ｘ，过点Ａ（－１，１）的直线ｌ交Ｃ于Ｍ，Ｎ两点（１）当点Ａ平分线段ＭＮ时，求直线ｌ的方程；（２）已知点Ｂ（１，０），过点Ｄ（－１，０）的直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，证明：ＢＰＤＱ＝ＢＱＰＤ２２（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ－ｘ（１）若函数ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ＝０，求ａ的值；（２）当ａ≥２时，证明ｆ（ｘ）＞０在（０，π）上恒成立数学·第３页（共４页）