天津理工大学大学物理机械振动

1机械振动天津理工大学理学院物理系康志泰印2物体或物体的一部分，在平衡位置附近来回地作周期性运动，叫做机械振动，简称振动。振动现象是多种多样的，它在自然界中是广泛存在的。机械振动摆的运动、心脏的跳动、气缸中活塞的运动等简谐振动最简单、最基本的振动一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动3用激光时间平均法得到的小提琴全息振动模式图4纸锥扬声器的振动模式5mmmxo平衡位置设物体在位置零处时，没被拉长也未被压缩，这时物体在水平方向上不受力的作用，此位置就叫做平衡位置。ff弹簧振子一轻弹簧一端固定，另一端系一物体，放在光滑的水平桌面上。将物体稍微移动后，物体就在弹性力的作用下来回自由振动。平衡位置一弹簧振子的谐振动6以此为坐标原点，水平直线为x轴，并设向右为正。当物体相对于平衡位置有一位移x时，无论是在平衡位置的左方还是右方，物体都将受到一个弹性力的作用，此时弹簧被伸长或压缩。根据虎克定律，物体所受到的弹性力与位移成正比，且永远指向平衡位置，因此有kxf负号表示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永远指向坐标原点。弹簧的倔强系数7kxf位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最大。由于作谐振动的物体所受到的弹性力永远指向平衡位置，所以它的运动总是一种不断重复着的周期性运动。物体在左右两个端点位移最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大(f=ma)。但由于物体静止，其速度为零；物体在原点处8以弹簧振子为例，由于kxf即kxmaf知xmka令mk2则xdtxda222或0222xdtxd二谐振动的运动方程与基本特征90222xdtxd对于其它形式的简谐振动，例如单摆，其方程形式与此相同，只不过是变量位移x为其它物理量而已。此方程的解用余弦函数来表示为)cos(tAx式中A和是两个积分常数。此式和上式一样都可称为谐振动的运动方程。弹簧振子所作谐振动的微分方程式10物理意义设=0，上式可写成tAxcos随着时间的推移，m的位移x在数值A到-A之间作往复周期性的变化，即振动。)cos(tAxA-AxtpP’223225011A-AxTtpP’2232250还可看出，当t=0时AtAxcos当t=2/时AAAx2cos2cos（P点）（P’点）这正是作谐振动的物体往复运动了一次振动物体离开平衡位置的最大位移振幅A12A-AxTtpP’2232250物体往复运动一次所需的时间2T频率21T2振动的圆频率周期13谐振动的基本特征并不是所有的振动都是简谐振动，只有满足于一定条件的振动才是简谐振动。谐振动的微分方程0222xdtxd它是由下式得到的kxf此方程的解)cos(tAx物体所受的力或物体的加速度与位移成正比而方向相反是谐振动的基本特征。任何一个物体的运动只要具有这个特征即满足于上述方程，则必遵循x=Acos(t+)这一运动方程而作简谐振动。14由三角学知)2sin()cos(tt令2'则有)'sin()cos(tt此时有)'sin(tAx此式与)cos(tAx等效上述两式都是微分方程的解，也就都可以作为简谐振动的运动方程。为了初学的便利，一般采用余弦形式。0222xdtxd)cos(tAx15谐振动的速度和加速度已知简谐振动的位移)cos(tAx则物体的运动速度)sin(tAdtdxv加速度)cos(222tAdtxddtdva物体作简谐振动时，不但它的位移随时间作周期性变化，它的速度和加速度也随时间作周期性变化。16设有一长度等于A的矢量MA0三参考圆（旋转矢量）谐振动的位相在图示平面内绕原点以角速度逆时针旋转（与圆频率等值）。矢径端点M在空间的轨迹是一圆。M在0x轴上的投影P点就在0x轴上作往复运动。M点t=0时刻在位置M0矢径A与0x轴的夹角是pM0MxyoAx17在以后任一时刻t，M点的位置矢径与0x轴的夹角为（t+）。考察M点在0x轴上的投影点P的运动，易看出在任一时刻t，A在0x轴上的投影是：)cos(tAxpM0MxyotAx18)cos(tAx此结果正说明P点在0x轴上作谐振动。反过来说，任何一个谐振动都可以想象为某一相应参考圆上M点的投影，M点就叫参考点。谐振动的运动方程19)cos(tAx数值上等于它所对应的参考圆的半径当然振动中并不存在角速度问题，但联系参考圆来理解是很方便的。振幅矢量A谐振动的周期M点绕圆周运动一周所需的时间（即P点往复运动一次所需的时间）圆频率M点的角速度pM0MxyotAx20现在已知运动方程)cos(tAx速度)sin(tAv加速度)cos(2tAa都包含有（t+）项，括号中的整体具有角度量纲（弧度）称为相位或周相。在振动过程中，相位（t+）随时间变化，当相位变化2时，作振动的质点就完成一次全振动。当振幅A为已知时，任一时刻的相位可完全决定这一时刻的位置和速度。初相t=0时的相位它决定开始计时时的位置和速度21pM0MxyotAx相位与初相位22当位移为零时，加速度也为零，但速度的数值最大；而当加速度的数值最大时，位移的数值也最大，但加速度与位移的方向相反，此时速度等于零。Ttx、、axa2AAAo-A-A-2A谐振动的x、v、a与t的关系图三者的周期相同，但在同一时刻三者的相位不同。23前面曾令mk2周期kmT22频率mkT211T与称为固有周期和固有频率。其它振动系统例如单摆，振动周期与频率也是由振动系统本身力学性质决定，与振幅及初相无关。振子的周期（频率）是由振动系统本身力学性质决定，而与振幅及初相位无关。四弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定xA024振幅及初相的确定已知)cos(tAx)sin(tAvA和可由振动初始条件来确定cos0Ax将两式平方，有222202220sincosAvAx相加得到220202vxAsin0Av若t=0，x=x0，v=v0，则25将两式平方，有222202220sincosAvAx相加得到220202vxA即22020vxA及00xvtg上述结果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出谐振动的振幅和初位相。26①起始时，小球在振动正方向的端点，即t=0时，x=A，则cos=1=0。小球从正的最大位移开始运动时，初相=0，运动方程的形式为tAxcos利用旋转矢量法，据起始条件可立即看出矢径A在0A位置，即矢径与X轴之间的夹角为零，所以初位相为零。初相位也可用参考圆法确定假定弹簧下挂一小球作谐振动，其方程为)cos(tAxxA00A=027用旋转矢量图画简谐运动的图tx28②起始时，小球在振动负方向的端点当t=0时，x=－A，此时v=0cosAA1cos)cos(tAx)cos(tAx0Ax0x=-A29③起始时在平衡位置向负方向运动当t=0时，x=0，此时sinAv0cos2小球沿x轴负方向运动，所以v0，则0sin取2方程)2cos(tAx)cos(tAx)sin(tAvx0v0x230用旋转矢量图画简谐运动的图tx31④起始时在平衡位置向正方向运动当t=0时，x=0，此时0cos2sinAv小球沿x轴正方向运动，所以v0，则0sin取2或23)2cos(tAx)cos(tAx)sin(tAvx0v0x23A32⑤起始时过x=A/2向x正方向运动当t=0时，x=A/2，此时cos2AA21cos3sinAv小球沿x轴正方向运动，所以v0，则0sin取3或35)3cos(tAx方程)cos(tAx)sin(tAvx0vA/20xA3A/233振动曲线①起始时小球在振动正方向的端点0tx0AA/20A=034tx0AA/2①起始时小球在振动正方向的端点0②起始时小球在振动负方向的端点振动曲线0x=A35tx0AA/2①起始时小球在振动正方向的端点0②起始时小球在振动负方向的端点③起始时在平衡位置向负方向运动2振动曲线0x236tx0AA/2①起始时小球在振动正方向的端点0②起始时小球在振动负方向的端点③起始时在平衡位置向负方向运动2④起始时在平衡位置向正方向运动2振动曲线0x23A37tx0AA/2①起始时小球在振动正方向的端点0②起始时小球在振动负方向的端点③起始时在平衡位置向负方向运动2④起始时在平衡位置向正方向运动2⑤起始时过x=A/2向x正方向运动（红虚线）3振动曲线0xA3A/238tx0AA/2①起始时小球在振动正方向的端点0②起始时小球在振动负方向的端点③起始时在平衡位置向负方向运动2④起始时在平衡位置向正方向运动2⑤起始时过x=A/2向x正方向运动（红虚线）3(6)起始时过x=A/2向x负方向运动（黑虚线）3振动曲线39kxfk为弹簧的倔强系数，负号表示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永远指向原点。物体在左右两个端点位移最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大。但由于物体静止，其速度为零；但在其原点处，位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最大。虎克定律mmmxo平衡位置ff40makxf运动方程0222xdtxd)cos(tAxmmmxo平衡位置ffmk241设=0tAxcos图像如下A-AxTtpP’2232250此图像表明，随着时间的推移，m的位移x在数值A到-A之间作往复周期性的变化，即振动。)cos(tAxA振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移周期：作谐振动的物体往复运动一次所需的时间T2T42A-AxTtpP’2232250)cos(tAx21T2T频率圆频率243谐振动的速度和加速度已知简谐振动的位移)cos(tAx则物体的运动速度)sin(tAdtdxv加速度)cos(222tAdtxddtdvaTtx、、axa2AAAo-A-A-2A44)cos(tAxpM0MxyotAx在任一时刻t，A在0x轴上的投影是参考圆（旋转矢量）谐振动的位相谐振动的运动方程4522020vxA00xvtg上述结果表明，如果已知初位移x0和初速度v0，就能由上式求出谐振动的振幅和初位相。弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定mk2则弹簧振子的周期kmT22频率mkT211初位相也可以用参考圆法来确定462.如图所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相应为)(2)(2)(0)(DCBAmF0[]D0x=A起始时物体在X轴负方向的端点475一个质点作简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时间为t0，则该质点的振动周期T应为（A）4t0（B）12t0（C）6t0（D）8t0A/2x)22cos(tTAx平衡位置开始，=-/2，)22cos(2tTAA二分之一最大位移处322tT0v取36322tT012tT