甘肃省兰州市第六十一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理科）试卷

高三数学（理）第1页共6页兰化一中2023届高三第四次阶段考试数学（理科）1.已知011iz，（命题人：李兰萍杨润叶2023.1）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）则z=（）A.1B.2C.21D.222.已知集合,,|,,422AxxyyBZxxxA则A∩B（）A.0,2,4B.0,1C.0,1,4D.0,43.已知216sin，则322cos（）A．14B．12C．14D．124.某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为7x，10y．甲统计员得到的回归方程为1.69yxa；乙统计员得到的回归方程为0.17ˆ2.52exy；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论：①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取3.4e30）；②ˆ1.83a；③方程ˆˆ1.69yxa比方程0.17ˆ2.52exy拟合效果好；④y与x正相关．以上说法正确的是（）A．①②④B．②④C．②③D．①③④高三数学（理）第2页共6页5.在等差数列na中0na，且,4038201921aaa则20191aa的最大值等于（）A．9B．8C．6D．46.“1m”是“椭圆06322mymx的焦距为4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（）A．74B．73C．21D．3518.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.429B.29C.3D.439.已知抛物线)0(2:2ppyxC的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，过点M作lMA，A为垂足，已知直线AF的斜率为2，△AFM的面积为10，则p等于（）A．4B．6C．8D．1010.若函数axexfxcos)(在区间0,π上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．[−2,+∞)B．[1,+∞)C．(1,+∞)D．(−2,+∞)11.在三棱锥ABCP中，侧棱5,PAABCPA底面，如图是其底面ABC用斜二测画法所画出的水平放置的直观图'''CBA，其中2''''''AOCOBO，则该三棱锥外接球的表面积为（）高三数学（理）第3页共6页A．36B．41C．48D．5012.已知函数exxeexxxf,0,ln)(，若0abc且满足)()()(cfbfaf，则)()()(acfcbfbaf的取值范围是（）A．),1(B．,eC．11,1eeD．eee12,二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数xxf也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号x表示不超过x的最大整数，如：117.0239.2，．若函数Zkkkf32cos，则kf的值域为_________．14.5211xax的展开式中，4x项的系数为35，则实数a的值为______．15.在△ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,，若(��+��)⋅��=35|��|2，则AbBacoscos______.16.已知数列na满足*1,12Nnaannn，且14a，则2023a________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题，共60分17.(12分)在①ABabccoscos2，②bcCa2cos2，③AbAcCAacos32sin21cossin.三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,，且______.（1）求A；（2）求CBcoscos的取值范围.高三数学（理）第4页共6页18.(12分)2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛．为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按30,40、40,50、50,60、60,70、70,80、80,90、90,100分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；（2）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为，求的分布列和数学期望．奖品数量（单位：本）24概率341419.(12分)立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，GFE,,分别是边长为4的正方形三边ADCDAB,,的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接CGAB,就得到了一个“刍甍”(如图2)．高三数学（理）第5页共6页（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥GCF平面.（2）若二面角BEFA的大小为32，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.20.(12分)已知椭圆01:2222babyaxC，倾斜角为30的直线过椭圆的左焦点1F和上顶点B，且2311ABFS（其中A为右顶点）.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点(0,)Mm的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且2PMMQ，求实数m的取值范围.21.(12分)已知函数.,ln)(Raxxaexfx（1）若ex时，)(xf取得极值，求)(xf的单调区间；（2）若函数),,1[,)()(xxxxfxg求使2)(xg恒成立的实数a的取值范围.高三数学（理）第6页共6页（二）选考题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2(3(1)xttyt为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为π4sin6．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l与y轴交于点P，与曲线C交于BA,两点，求2211PBPA．23.[选修4-5：不等式选讲]已知.0,122nmnm，且（1）求nm211的最小值；（2）求142222mnnm的最小值.