《理论力学》第一章-力的分解与力的投影解析

第一章静力学的基本公理与受力分析§1–3力的分解与力的投影一、力的分解根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何关系确定。ORxy2F1F第一章静力学的基本公理与受力分析定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。αFx力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。投影是代数量二、力在坐标轴上的投影第一章静力学的基本公理与受力分析Fx=FcosFy=Fcos=FsinFx和Fy是力F在x，y轴上的投影22yxFFFFFxcosFFycosjFiFFyx力的解析式：力的大小与方向为：式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。第一章静力学的基本公理与受力分析合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。,(1,2,)RxyixiyiFFiFjFFiFjinRyRxyixiyxRFFcosFFcosαFFFFF,)()(2222合力投影定理12RnFFFFF()()()()xyxiyixiyiFiFjFiFjFiFj合力的大小和方向余弦为第一章静力学的基本公理与受力分析求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1=200N，F2=300N，F3=100N，F4=250N。N3.12945cos45cos60cos30cos4321FFFFFFxix1234sin30sin60sin45sin45112.3NyyiFFFFFF平面基本力系例题解：根据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：60F245F430F1xyO45F3第一章静力学的基本公理与受力分析N3.17122RyxFFF656.0cos754.0cosRRFFFFyx01.4999.40合力的大小：合力与轴x，y夹角的方向余弦为：所以，合力与轴x，y的夹角分别为：60F245F430F1xyO45F3平面基本力系例题第一章静力学的基本公理与受力分析60F245F430F1xyO45F3合力的大小：N3.17122RyxFFFN3.129xFN3.112yFFxFyFR8685.03.1293.112tanxyFF合力的方向：o97.40平面基本力系例题或第一章静力学的基本公理与受力分析OxyFz直接投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk三、力在空间坐标轴上的投影力在空间正交坐标轴上的投影可用两种方法来计算coscoscosxzFFFyFFF第一章静力学的基本公理与受力分析yzOxFFxy二次投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+FzksincossinsincosxyzFFFFFF222cos(,)cos(,)cos(,)xyzxyzFFFFFFFFFFFiFjFk第一章静力学的基本公理与受力分析力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向;转动效应--取决于力矩的大小、方向.§1–4力矩力F使物体绕O点转动效果的量度取决于三个因素：（1）力F的大小与力臂的乘积，即力矩的大小；（2）力F与矩心O所确定的平面的方位，即力矩的作用面；（3）在作用面内，力F绕矩心O的转向。第一章静力学的基本公理与受力分析一、平面力系中的力矩力矩为零的情况：当h=0即力的作用线通过矩心时力矩单位牛顿米（Nm）千牛顿米（KNm）力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量O——矩心h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。Mo(F)=±Fh=±2AOAB第一章静力学的基本公理与受力分析FnOrFrFh已知：Fn，，r求：力Fn块对轮心O的力矩。平面力系中的力矩例题解：（1）直接计算()cosOnnnMFhFrF（2）利用合力定理计算()()()()cosOnOrOOnMMMMFrFFFF第一章静力学的基本公理与受力分析计算图示力F对点O之矩。F与水平线夹角为，杆OA长r，与水平线夹角为。)-Frsin(Fh)(MOFrcossin)(Mrsincos--)(MyOxOFFFFFFxyyx解：平面力系中的力矩例题第一章静力学的基本公理与受力分析从上面的计算可以看到，力F对O点之矩等于它的两个正交分力Fx和Fy对O点之矩的代数和。)()()(yOxOOMMMFFFxyyxyFxFMM-)()(OOFF)()-(sin)sincos-cossin(OFMFrFr例题平面力系中的力矩第一章静力学的基本公理与受力分析平面汇交的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点力矩的代数和。即)()(.......)()()(121iniOnoooRoMMMMMFFFFF合力矩定理第一章静力学的基本公理与受力分析二、力矩的解析表达式x、y是力F作用点A的坐标，而Fx、Fy是力F在x、y轴的投影，计算时用代数量代入。合力FR对坐标原点之矩的解析表达式nixiiyiiRoFyFxM1)()(F()oyxMFxFyF第一章静力学的基本公理与受力分析如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力Fn的作用。设Fn=1400N。压力角α=20o，齿轮的节圆（啮合圆）的半径r=60mm，试计算力Fn对于轴心O的力矩。例题平面力系中的力矩rhO第一章静力学的基本公理与受力分析计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得mmN93.78cos)(nnnrFhFFMOcos)()()(nrnrFFMFMFMFMOOOO根据合力矩定理，将力Fn分解为圆周力F和径向力Fr,解：则力Fn对轴心O的矩rhOrOFnFrF例题解法一解法二平面力系中的力矩第一章静力学的基本公理与受力分析ABqx水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为q，梁长l。试求合力作用线的位置。例题平面力系中的力矩第一章静力学的基本公理与受力分析qlxqlxxqFll0021ddqlxq在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为q’dx，其中q’为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知xABqxdxhlqF因此分布载荷的合力大小解：例题平面力系中的力矩第一章静力学的基本公理与受力分析lxxqFh0dlh32设合力F的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有将q'和F的值代入上式，得xABqxdxhlqF例题平面力系中的力矩