人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程(教师版)【个性化辅导含答案】

人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】1/8圆的方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；圆的一般方程和代入法的掌握、应用．一、圆的标准方程1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．3．圆心为(a，b)半径为r(r0)的圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x2＋y2＝r2.4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2，P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.二、圆的一般方程1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4.(1)当D2＋E2－4F0时，方程表示以－D2，－E2为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2，－E2；(3)当D2＋E2－4F0时，方程没有实数解，它不表示任何图形．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F0.3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)的位置关系是：P在圆内⇔𝑥02+𝑦02+𝐷𝑥0+𝐸𝑦0+𝐹0，P在圆上⇔𝑥02+𝑦02+𝐷𝑥0+𝐸𝑦0+𝐹=0，人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】2/8P在圆外⇔𝑥02+𝑦02+𝐷𝑥0+𝐸𝑦0+𝐹0.4．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；(4)化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝2；(2)(x－3)2＋y2＝4；(3)x2＋(y－1)2＝9；(4)(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.解析：用圆的标准方程的公式解决．答案：(1)圆心(0,0)，半径为2.(2)圆心(3,0)，半径为2.(3)圆心(0,1)，半径为3.(4)圆心(－1，－2)，半径为22.练习1：已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：(1)圆心在x轴上；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y轴相切；(4)圆与两坐标轴均相切．答案：(1)b＝0.(2)r＝|a|(a≠0)．(3)r＝|a|(a≠0，b＝0)．(4)|a|＝|b|＝r(a≠0，b≠0)．练习2：已知圆C的方程为225610xy，试判断点6,9,3,3,5,3MNQ是在圆上，圆内，还是在圆外？答案：∵22659610CM∴点M在圆上∵2235361310CN∴点N在圆外∵225536310CQ∴点Q在圆内例2：过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】3/8C．(x－3)2＋(y－3)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2解析：解法一：点P(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、C、D，故选A.解法二：设圆心坐标为(a，a)，半径为R，由题意得(a－2)2＋(a－2)2＝(a－4)2＋(a－2)2，解得a＝3.∴R2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2，故选A.答案：A练习1：求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．答案：解法一：设圆心为(a，b)∴a－102＋b－52＝100①a＋42＋b－72＝100②①－②整理得7a－b－15＝0，即b＝7a－15，③将③代入①得a2－6a＋8＝0.∴a＝2或a＝4，则b＝－1或b＝13.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.解法二：A、B的垂直平分线方程为y－6＝－10＋45－7(x－3)即y＝7x－15.设圆心为(a，b)，由于圆心在AB的垂直平分线上，∴b＝7a－15，①又∵(a－10)2＋(b－5)2＝100，②将①代入②可得a＝2或a＝4.(以下同解法一)练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点3,4C上，半径半径是5；（3）圆心在直线538xy上，又圆与坐标轴相切答案：（1）229xy；（2）22345xy（3）设所求的方程为：222xayba由题意知ab，即ab或ab又∵圆心在直线538xy上，∴538aa或538aa解得：4a或1a∴所求方程为224416xy或22111xy练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．答案：设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意得2－a2＋2－b2＝r25－a2＋3－b2＝r23－a2＋－1－b2＝r2，人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】4/8解得a＝4b＝1r2＝5.故△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.类型二圆的一般方程例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？解析：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．答案：由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，即m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.当m＝1时，原方程化为2x2＋2y2＋3＝0.不合题意舍去；当m＝－3时，原方程化为14x2＋14y2－1＝0，即x2＋y2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆．练习1：已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．答案：(1)由题意，得D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)0，即4m2＋4－4m2－20m0，解得m15，故m的取值范围为(－∞，15)．(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.练习2：220xyxyR表示一个圆，则R的取值范围是（）A．,2B．,2C．1,2D．1,2答案：C例4：已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．解析：设PQ的中点为M，则由中点坐标公式得M(1,0)．∵点M在直线ax－y＋b＝0上，∴a＋b＝0.又PQ所在直线与直线ax－y＋b＝0垂直，∴－1－13－－1·a＝－1，∴a＝2.故b＝－2.答案：设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】5/8∵A、B、C三点在圆上，∴1＋16＋D＋4E＋F＝04＋9－2D＋3E＋F＝016＋25＋4D－5E＋F＝0，解得D＝－2E＝2F＝－23.∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.练习1：求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．答案：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－D2，－E2)，∴－D2＝－E22－D＋E＋F＝010＋D＋3E＋F＝0∴D＝－2E＝－2F＝－2.∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.练习2：ABC的三个顶点坐标分别为1,5,2,2,5,5ABC，求其外接圆的方程．答案：设圆的方程为220xyDxEyF由题意知22222215502222055550DEFDEFDEF解得4220DEF∴所求方程为2242200xyxy例5：等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：利用等腰三角形性质两腰相等．答案：设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得x－42＋y－22＝4－32＋2－52，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.练习1：自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．答案：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有x21＋y21＝4，且x＝x1＋22，y＝y1＋02.∴x1＝2x－2，y1＝2y.人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【个性化辅导含答案】6/8∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．练习2：已知动点M到定点8,0的距离等于M到2,0的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是（）A．2232xyB．2216xyC．22116xyD．22116xy答案：B1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外答案：C2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为()A．(－1,2)，2B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(1，－2)，4答案：A3．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100答案：B4．圆x2＋y2－2x＋y＋14＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(－1，12)；1B．(1，－12)；1C．(1，－12)；62D．(－1，12)；62答案：B5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()A．a－2或a23B．－23a2C．－2a0D．－2a23答案：D6．圆x2＋y2－2x＋6y＋8