平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果ax2，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。（3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a的正的平方根可用a表示，a也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-a表示．（6）ax2—axa是x的平方x的平方是ax是a的平方根a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式ax2(x≥0)中，规定ax。（2）a的结果有两种情况：当a是完全平方数时，a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。一般来说，被开放数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）a倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）ax2(x≥0)—axa是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a（a0）0aaa2；注意a的双重非负性：-a（a0）a0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果3xa，那么x叫做a的立方根（2）一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（3）一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即330aaa。（5）ax3—3axa是x的立方x的立方是ax是a的立方根a的立方根是x（6）33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数2、下列语句中，正确的是（）A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．一个实数的立方根不是正数就是负数D．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个4、20.7的平方根是（）A．0.7B．0.7C．0.7D．0.495、下列各组数中，互为相反数的组是（）A、－2与2)2(B、－2和38C、－21与2D、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____.-27立方根是_______.___________，___________，___________.2、2)4(；33)6(；2)196(=.38=.3、①2+32—52②7(71-7)③|23|+|23|-|12|④41)2(8234、（1）327＋2)3(－31（2）33364631125.041027（3）知识点三：利用平方根和立方根解方程1、（1）（2x-1）2-169=0；（2）12142x（3）125)2(3x知识点四：关于有意义的题a本身为非负数，有非负性，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。要使1a有意义，必须满足a0.1、若a的算术平方根有意义，则a的取值范围是（）A、一切数B、正数C、非负数D、非零数2、要使62x有意义，x应满足的条件是3、当________x时，式子21xx有意义。知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a的平方根是3x―4与2―x，则a是多少？2、若5a＋1和a－19是数m的平方根，求m的值。3、已知x、y都是实数，且334yxx，求xy的平方根。知识点六：非负性的应用1、已知实数x，y满足2x+(y+1)2=0，则x-y等于解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，解得x=2，y=-1，所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．2、已知a、b满足0382ba，解关于x的方程122abxa。3、若0)13(12yxx，求25yx的值。4、若a、b、c满足01)5(32cba，求代数式acb的值。5、已知a31和︱8b－3︱互为相反数，求(ab)－2－27的值。【重点知识巩固】考点、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。（2）若a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。