初中数学【7年级上】3.4一元一次方程中的“定长”与“定量”

一元一次方程应用中的“定长”与“定量”在一元一次方程的应用中，经常遇到“定长”与“定量”问题。而这里的定长和定量往往是设未知数或布列方程的关键。下面我们一道来分析几例，体会体会这类问题解决得主要思路吧。1、用定长按照定量的要求围成图形问题。例1用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。1）使得这个长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长与宽各是多少米?此时长方形的面积是多少?2）使得这个长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长与宽各是多少米?此时长方形的面积是多少?3）使得这个长方形的长与宽相等,此时长方形的长与宽各是多少米?此时长方形的面积是多少?4）比较1）、2）、3）中，长方形的面积的变化，你有什么感想？分析：在这个问题中定长10米就是围成图形的周长，长与宽之间的关系就是问题中的定量。只要抓住这两层意义，去设未知数或去作为等量关系布列方程，问题就顺利解决了。通常把定长作为等量关系来列方程，应用定量去设未知数。解：1）设此时长方形的宽为x米，则长方形的长为（x+1.4）米,根据题意,列方程,得:2（x+1.4+x）=10,所以,4x=7.2,x=1.8,因此x+1.4=1.8+1.4=3.2,即此时长方形的长为3.2米,宽为1.8米.所以,长方形的面积为:3.2×1.8=5.76(m2)。2）设此时长方形的宽为x米，则长方形的长为（x+0.8）米,根据题意,列方程,得:2（x+0.8+x）=10,所以,4x=8.4，x=2.1,因此x+0.8=2.1+0.8=2.9,即此时长方形的长为2.9米,宽为2.1米.所以,长方形的面积为:2.9×2.1=6.09(m2)。3）设此时长方形的宽为x米，则长方形的长为x米,根据题意,列方程,得:2（x+x）=10,所以,4x=10,x=2.5,即此时长方形的长为2.5米,宽为2.5米.所以,长方形的面积为:2.5×2.5=6.25(m2)。4）当长方形的周长一定时，围成的不同长方形中，长方形的长与宽的差越小，长方形的面积就越大。当围成正方形时，图形的面积最大。2、用定长作路程按照定量去行驶问题例2已知甲乙两地相距200千米，一辆汽车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地。相遇时，汽车与轿车行驶的路程之比为3：5，求轿车走的路程是多少千米？分析：在这个问题中定长200千米就是甲乙两地相距离。汽车与轿车行驶的路程之比就是问题中的定量。只要抓住这两层意义，去设未知数或去作为等量关系布列方程，问题就顺利解决了。通常把定长作为等量关系来列方程，应用定量去设未知数。解：设汽车行驶的路程为3x米，则轿车行驶的路程为5x米,根据题意,列方程,得:3x+5x=200,所以,8x=200,x=25,所以汽车行驶的路程为3x=3×25=75千米，轿车行驶的路程为5x=5×25=125千米。3、用定量作设元和等量关系问题例3某农场有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田的3倍还多100平方米，这两块试验田的面积共有2900平方米，两块试验田的面积分别是多少平方米？分析：在这个问题中，两块试验田的面积共有2900平方米、3倍还多100平方米都是问题中的定量。只要抓住这一点，去设未知数或去作为等量关系布列方程，问题就顺利解决了。解：设第二块试验田的面积为x平方米，则第一块试验田的面积为（3x+100）平方米,根据题意,列方程,得:3x+100+x=2900,所以,4x=2800,x=700,所以，3x+100=3×700+100=2200所以第一块试验田的面积为2200平方米,第二块试验田的面积为700平方米。4、物体形状变形中的定量问题例4将一底面直径为10厘米、高为36厘米的圆柱锻压成底面直径为20厘米的圆柱，则新圆柱的高是多少厘米？分析：在这个问题中变形前后的两个圆柱的体积保持不变是就是问题中的定量。解：设新圆柱的高为x厘米，根据题意,列方程,得:π×52×36=π×102×x,所以,4x=36,x=9,所以，新圆柱的高为9厘米。5、打折问题中的定量问题例5某商场有一种电视机，每台的原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少？分析：在这个问题中，降价前后的销售额都为10万元，就是问题中的定量。解：设降价前的销售额为10万元，需要销售为x台，降价后的销售额为10万元，需要销售为y台，根据题意,列方程,得:2500×x=100000,所以,x=40,根据题意,列方程,得:2500×y×0.8=100000,所以,y=50,所以，要多销售：50-40=10（台）。所以，想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加10台。