浅谈高中数学抽象函数的单调性问题

浅谈高中数学抽象函数的单调性问题刘璐长安一中，陕西省西安市，710000【摘要】单调性是函数的一个重要性质，它是学生学习一些其他知识的基础，同时也是高考的高频考点。但是在平时的教学过程中，笔者发现不论是初步接触单调性的高一学生，还是进入总复习的高三学生，对于抽象函数的单调性这一问题，仍然处于一种朦胧状态，运气好的时候可以答对，大部分时候都是不知所以然。针对这一情况，笔者有以下一些解题分析和答题策略，与大家共同商讨。关键词函数，单调性，抽象函数函数及其单调性是现行高中数学教材中极其重要的一部分内容，尤其单调性，它是学生学习数列、解析几何、不等式等知识的重要基础，也是高考数学的一个常考点。但是对于一些抽象函数单调性的证明和求解问题，一直困扰着很多学生，下面，笔者就这一问题给出一些自己的见解和方法，以供大家参考。首先，我们给出函数单调性的概念：关于函数单调性的概念，北师大版教材是这样定义的：在函数()yfx=定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数Axx21,，当12xx时，都有12()()fxfx，则称函数()yfx=在区间A上是增加的，有时也称函数()yfx=在区间A上是递增的；类似地，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就称函数()yfx=在区间D上是减少的，有时也称函数()yfx=在区间D上是递减的。如果函数()yfx=在定义域内的区间上是增加的或者减少的，那么就称函数()yfx=在这个区间上具有单调性。根据单调性的定义，我们可以把证明分为以下几步：①在区间A上，任取．．12,xx，令12xx；②作差)()(21xfxf；③对)()(21xfxf的结果进行变形处理（通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等）；④确定符号（即)()(21xfxf的正负）；⑤下结论，根据“同增异减”原则，指出函数在区间上的单调性。由于高一阶段，学生没有学导数证明单调性，因此利用单调性的定义来证明就显得尤为重要了。下面，我们着重对抽象函数的单调性进行证明。例1：设)(xf是定义在R上的函数，对Rnm,,恒有)0)(,0)()(()()(nfmfnfmfnmf，且当0x时，1)(0xf.（1）求证：1)0(f；（2）求证：Rx时，恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在R上是减函数。分析：（1）对于抽象函数，一般采用赋值法去求特殊的函数值，通常赋的值有...2,1,0，具体给自变量赋什么值，还得结合题目已知条件。（2）题目给了0x时，1)(0xf，通过第一问又证明了01)0(f，因此只需再证当0x时，0)(xf即可，要证0x的情况，可以利用)()()0(xfxff来证。（3)可以利用定义来证函数的单调性。解：（1）令0m，根据题意有：)()0()0(nffnf由1)0(,0)(fnf有.（2）由题意知当0x时，1)(0xf，已证当0x时，01)0(f，下证，当0)(0xfx时，.当0x时，0x，所以,1)(0xf由题意)()())((xfxfxxf=1，所以有0)(1)(xfxf综上：0)(xfRx时，恒有.(3)任取,,21Rxx且令21xx，则)()(21xfxf=)()(2221xfxxxf=)()()(2221xfxfxxf=)](1)[(212xxfxf因为1)(0,0,212121xxfxxxx所以,所以0)](1[21xxf，又0)(2xf，所以)()(21xfxf=0)](1)[(212xxfxf由21xx得0)()(21xfxf，所以)(xf在R上是减函数。评注：解决抽象函数的单调性问题，一般就采用单调性的定义来处理，但一定要结合题目所给条件，最主要是通过题目所给的关系式，推导出)()(21xfxf的正负，比如本道题，我们要利用定义证明函数的单调性，就必须有两个不等关系出现，即)()(,2121xfxfxx和和,这个时候一定要紧扣题目已给的不等关系，如本道题给的当0x时，有1)(0xf，那我们在构造时就希望出现一个量是大于零的，这个时候顺理成章有第一步：任取,,2121xxxx且令（而不是21xx),即021xx，那么根据题意就有1)(021xxf，那要产生)(21xxf就需要变形，即)()()()(222121xfxxxfxfxf，再结合题目给的恒等式，继续变形，产生一些可以判断正负的因式，最终)()(21xfxf)](1)[(212xxfxf，其中两个因式都可以直接判断正负，至此，目的已达到。我们利用这样的一个思路再来证明一道抽象函数的单调性：例2：已知函数)(xf对任意,,Ryx总有)()()(yfxfyxf，且当0x时，0)(xf，求证：)(xf在R上是减函数。分析:因为题目中给了0x时，0)(xf，所以我们开始构造大于零的量，令21xx，则,021xx0)(21xxf，再接着要产生),(21xxf就要结合题目所给条件对式子再进行变形。证明：任取2121,,xxRxx且令,则,021xx)()(21xfxf=)()(2221xfxxxf=)()()(2221xfxfxxf=)(21xxf由题意，当0x时，0)(xf，得0)(21xxf，因此)(xf在R上是减函数。利用单调性定义去证明抽象函数的单调性，其关键在于紧紧“锁住”题目条件，这类题，题目一般都会给出一个不等关系，如例1中的“当1)(00xfx时，”和例2中的“当0)(0xfx时，”而我们必须充分利用个这个不等关系去对自变量和函数值两个不等关系进行构造变形，从而顺利证明。牛刀小试：设)(xf是定义在),0(上的函数，且当1x时，0)(xf，若对任意的实数yx,都有).()()(yfxfxyf证明)(xf在),0(是增函数。证明：任取),0(,21xx，且令21xx，则有121xx，)()(21xfxf=)()(2221xfxxxf=)()()(2221xfxfxxf=0)(21xxf，因此)(xf在),0(是增函数。参考文献[1]李盛,杨樟松,李世杰.函数的性态及其应用[M].杭州:浙江大学出版社,2012[2]刘海武.高中数学函数单调性在解题中的巧妙应用[J].数理化解题研究,2013,(8):33[3]房军.高中数学函数单调性解题方法的探讨[J].数理化学习,2014,(4):49-50[4]许雷波.函数单调性与数列单调性整合中的几个问题[J].数学教学,2008,(3):3-5[5]冯国宏.函数单调性在解题中的应用策略[J].学科教学,2007,(4):9-10[6]王粉霞.巧用函数单调性解题[J].学科探究·中学教学,2009,(6):45[7]薛国均.函数单调性及应用中的求解思维策略[J].高考理科版[8]欧阳资考.函数单调性的应用[J].中国西部科技,2012,(11):67-68[9]杨晓翔.函数单调性试题中的若干关系探析[J].中学数学月刊,2014,(11):46-48[10]金雪东.函数单调性应用的再探索[J].上海中学数学,2013,(5)