初中数学【8年级上】专题课堂(四)　等腰三角形中的证明

专题课堂(四)等腰三角形中的证明第十三章轴对称一、等腰三角形中常用的辅助线类型：(1)利用“三线合一”作“三线”中的“一线”；(2)利用垂线、平行线和截长补短，构造等腰三角形．【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.分析：过点E作EG∥AC交BC于G，构造等腰△EBG，可得EB＝EG＝FC，再证△EGD≌△FCD即可．证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠B＝∠EGB，∴BE＝EG.∵BE＝CF，∴EG＝CF.在△EGD和△FCD中，∠DEG＝∠F，∠EDG＝∠FDC，EG＝FC，∴△EGD≌△FCD(AAS)，∴DE＝DF【对应训练】1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE＝CF.求证：△DEF是等腰直角三角形．证明：连接AD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B＝45°，∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴AD＝BD，∠B＝∠CAD.∵AB＝AC，AE＝CF，∴BE＝AF.在△BDE和△ADF中，∵AD＝BD，∠B＝∠CAD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∴∠ADF＋∠EDA＝90°，即∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形2．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝CD＋AB.证明：在线段BC上截BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC.在△ABD和△EBD中，∵BA＝BE，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠BED－∠C＝72°.∵∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD二、等腰三角形中常见的证明题型类型：(1)证明数量关系；(2)证明位置关系；(3)证明线段的和差关系．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB＝60°，E是AD上一点，且有DE＝DB.求证：AE＝BE＋BC.分析：延长DC至F，使CF＝BD，连接AF，可证△ABD≌△ACF，从而可证△ADF是等边三角形，再证△DEB是等边三角形，即可证得结论．解：延长DC至F，使CF＝BD，连接AF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACF，由SAS可证△ABD≌△ACF，∴AD＝AF.又∵∠ADB＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝DF.∵DE＝DB，∠ADB＝60°，∴△DEB是等边三角形，∴DE＝BE＝DB＝CF.∵AD＝AE＋DE，DF＝DB＋BC＋CF，AE＋DE＝BE＋BC＋DE，∴AE＝BE＋BC【对应训练】3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是高，相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH，可证△BCE≌△AHE(ASA)，∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD4．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠EBC＝∠DCB，由AAS可证△BEC≌△CDB，∴BD＝CE，即AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC