相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

吴老师家教初三数学补充讲义-相似三角形特别讲解课139615702111一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）ABCDE（平行）CBADE（不平行）（二）8字型、反8字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD吴老师家教初三数学补充讲义-相似三角形特别讲解课139615702112相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。8字型拓展CBEDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月31．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA•OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：（1）DB2=DE•DA；（2）∠DCE=∠DAC．4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF•EG．5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB•FC．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月46．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月510．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．11．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月614．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF⊥CD，求BE的长．15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与△BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求△GMN的面积．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月717．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．（1）求AC和BC的长；（2）当EF∥BC时，求BE的长；（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月820．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月91.解答：证明：∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．2.解答：解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，故①正确，②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．③作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∵BC=16，∴AG=6，∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；故③正确；④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．故答案为：①②④．3.解答：证明：（1）在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD•DE．（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．4.解答：证明：连接CE，如右图所示，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，即∠ABE=∠ACE，又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，又∠FEC=∠CEG，∴△CEF∽△GEC，∴CE：EF=EG：CE，即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月105.解答：证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．6.解答：解：（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足为点H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）•x，即y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×x=x，∴S△ABE=×x×2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x•=x．当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°．（i）当∠BEP=90°时，=，∴=．解得x=．∴y=﹣x××5+×=．（ii）当∠EBP=90°时，同理可得x=，y=．相似三角形特别讲解课：一线三等角吴老师家教139615702112015年9月117.解答：证明：∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，∴∠BEC=∠BDC，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴；∵BD⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABD=30°，AD=，∴BC=2DE．8.解答：解：（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．∵∠DAE=120°，∴∠DAB+∠EAC=60°．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．（2）∵