初中数学【8年级上】12.3.2 角的平分线的判定(1)

12.3角的平分线的性质第十二章全等三角形第2课时角的平分线的判定知识点1：角的平分线的判定1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是()A．线段CD的中点B．CD与过点O作CD的垂线的交点C．CD与∠AOB的平分线的交点D．以上都不对C2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A．点MB．点NC．点PD．点QA3．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝6cm，当PE＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．64．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝____°.1005．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.解：在Rt△BDF和Rt△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS)，∴DF＝DE，从而可证AD平分∠BAC知识点2：三角形的角的平分线6．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说法中不正确的是()A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是()A．35°B．145°C．55°D．125°DD8．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是____．309．(2015·永州)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)D10．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于()A．2，2，2B．3，3，3C．4，4，4D．2，3，5A11．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有____处．412．如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市，张、李两村坐落在两相交公路内，超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．解：连接EF，作∠ACB的平分线交EF于点O，则点O即为所求(图略)13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠MAC的平分线交于点O.求证：点O在∠ACN的平分线上．证明：作OD⊥BM于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BN于点F，∵BO平分∠ABC，OD⊥BM，OF⊥BN，∴OD＝OF，同理可证OE＝OD，∴OE＝OF，又∵OE⊥AC，OF⊥BN，∴点O在∠ACN的平分线上14．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.解：过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠BED＝∠CFD＝90°，又∠1＝∠2，BD＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD(AAS)，∴DE＝DF，从而可证AD平分∠BAC15．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD.又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，∵AO＝AO，∴OE＝OB，∴Rt△ABO≌Rt△AEO.∴∠AOB＝∠AOE，同理，∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12×180°＝90°，∴OA⊥OC(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC方法技能：1．角的平分线的判定的主要作用是证明一个点在某个角的平分线上或两个角相等，它与角的平分线的性质恰好是条件和结论的交换，在运用时不要混淆．2．当遇到“证某线平分某角”时，首先要想到角的平分线的判定，即向角的两边作垂线，证明垂线段相等．3．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等．易错提示：忽略角的平分线的判定定理中的条件而出错．