第三讲找规律-程序运算与定义新运算

乐恩特文化传播有限公司乐恩特教育个性化教学辅导教案校区：石厦授课教师王宁波日期2014年8月时间14:00~16:00学生陈利垚年级初二科目数学课题找规律，程序运算与定义新运算教学目标要求程序运算、新定义、找规律类的问题是近年各省市中考试题中常见题型，是考察的重点．教学重难点分析教学过程知识回顾找规律大致可分为六大类：1、等差数列：2、等比数列：3、平方数列：4、成绩数列：5、摇摆数列：6、特殊的（斐波那契数列）：讲授新课1.（2011河南省毕业考试）下图是一个简单的运算程序．若输入x的值为2，则输出的数值为．2.（2012河池中考）根据图中的程序，当输入3x时，输出的结果y．3.（2011年北京市海淀区中考）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有aba和abb，例如323，322．则（20062005）（20042003）．4.（2011北京市课标卷）用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆21bb．例如7☆244117，那么5☆3；当m为实数时，m☆（m☆2）．5.（2012年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（）粒．A．21nB．21nC．2nD．2n输出y输入xy=x+5(x≤1)y=－x+5(x1)乐恩特文化传播有限公司※※※※程序运算※※※※一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．【例1】⑴【★】（茂名市2012年初中毕业生学业考试）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）结果+2m-m平方mA．mB．2mC．1mD．1m⑵【★】（2012株洲中考）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为．⑶【★☆】（2011年浙江义乌中考题）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的不同的值最多有（）．输出结果否是大于500计算5x+1的值输入xA．2个B．3个C．4个D．5个⑷【★☆】（2009广东中考）按下列程序计算，把答案写在表格内：n平方+nn-n结果①填写表格：②请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．【解析】⑴C．⑵4．⑶选C．656151310，13115260，261550，451505，41150525，∴只有45，5，26，131符合题意．⑷①1，1．②2()1nnnn．【变式】（第17届希望杯）如图是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是．【解析】51(2)32．【变式】（2012辽宁中考）小刚学习了有理数运算法则后，编了一个计算输入n30.523…输出答案11…输出y若结果大于0否则减去4乘以2平方输入x结束否是你乘-2已乘5次了吗写结果乘-2写下1开始乐恩特文化传播有限公司程序．当他输入任意一个有理数时，显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与1的和．当他第一次输入2，然后又将所得的结果输入后，显示屏上出现的结果应是（）A．8B．5C．24D．26【解析】D．【例2】【★★★】密码程序．（第七届“走进美妙的数学花园改编）在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”．①“873”加密之后的密码为．②完成下列密码表：③若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是．【解析】①831255，731222，331100，即520．②③244571182009．【变式】（西城期末）在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，……，26这26个自然数，见以下表格：现给出一个公式：1(,126,2)213(,126,2)2xxxxxxxxx为自然数不能被整除为自然数能被整除将明文字母对应的数字x按以上公式计算得到密文字母对应的数字x，比如明文字母为g，71742gd，所以明文字母g对应的密文字母为d．①按照上述规定，将明文good译成的密文是什么?写出你的计算过程；②按照上述规定，请你写出由密文字母x得到明文字母x的公式；③按照②中你得到的公式，密文gawqj所代表的明文单词是什么?（直接写出结果）．【解析】①good四个字母对应的四个数字分别为7、15、15、4，通过公式求出这四个数字对应的原码0123456789密码原码0123456789密码1470369258abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526乐恩特文化传播有限公司数分别为7142，15+182，15+182，413=152，从字母与数字的对应图中可以查到这四个数字分别对应d、h、h、o，所以译成的密文为dhho．②由公式1(,126,2),.213(,126,2).2xxxxxxxxx为自然数不能被整除为自然数能被整除知道，密文字母对应的数字13x时，明文字母对应的数字x不能被2整除；13x时，明文字母对应的数字x能被2整除．当密文字母对应的数字13x时，12xx，21xx，当密文字母对应的数字13x时，132xx，226xx所以由密文字母x得到明文字母x的公式为：21(,13)226(,13)xxxxxxx为自然数为自然数③根据②中求得的公式，密文gawqj对应的明文单词是maths．※※※※定义新运算※※※※前面学过有理数的五种运算：加、减、乘、除、乘方．如：235，236都是2和3的运算，可结果不同，主要是运算方式不同，实际是对应法则不同．可见一种运算实际就是一个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．下面来了解和熟悉“定义新运算”．【例3】⑴【★☆】定义一种新的运算：3abab，3abab，试计算：(2)31(4)__________．⑵【★★】（2011年人大附中期中练习）用定义新运算：对于任意有理数a，b，当ab时，2abb；当ab时，aba．当3x时，(2)(4)xxx的值是_______．⑶【★★☆】（2011定西中考）在实数范围内定义运算“”，其法则为：22abab，求满足(43)24x的x的值．【解析】⑴(2)33(2)3639，1(4)13(4)13故(2)31(4)91322．⑵由32x，故2232x．由43x，故244339x，从而(2)(4)29325xxx．⑶∵22abab，∴2222(43)(43)7724xxxx，∴225x，5x．【变式】（十一中学期中练习试卷）在有理数范围内定义新的运算符号：“”，规定1ababab，例如：34343416，根据以上的知识计算：1()42．【解析】由新运算的定义可知，11119()4()4()4124122222．乐恩特文化传播有限公司【变式】对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：n表示不是n的约数最小自然数，如72，125等，则1998___________．（式中的表示乘法）．【解析】由n的定义可知，192，983，故199864．【变式】设a、b都表示数，规定32abab．①求32，23．②这个运算“”有交换律吗？③求(176)2，17(62)．④这个运算“”有结合律吗？⑤如果已知42b，求b．【解析】①3233225，233223660．②由①的例子可知“”没有交换律．③要计算(176)2，先计算括号内的数，有：1763172639；再计算第二步39233922113，所以(176)2113．对于17(62)，同样先计算括号内的数，62362214，其次171431721423，所以17(62)23．④由③的例子可知“”也没有结合律．⑤因为43421222bbb，解出5b．点评：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍．在定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值．还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．※※※※数列、数表找规律※※※※①合理的猜想是正确解决找规律问题的前奏，它的思路一般是从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳．猜想未知，寻找一般规律，获取新结论．②一般规律发现需要“观察、归纳、验证．”有时要通过类比联想才能找到隐含条件．【例4】⑴【★】（2012张家界）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（）A．20072B．200721C．20082D．20062⑵【★】（2009年河北）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．13310B．25916C．361521D．491831⑶【★】（2010年牡丹江市）有一列数12，25，310，417，…，那么第7个数是．【解析】⑴C．第1个数：242；第2个数：382；第3个数：4162；…第2007个数：20082．认4=1+39=3+616=6+10…乐恩特文化传播有限公司真观察，从特殊到一般，可以发现等比递增．⑵C．三角数：1，3，6，10，15，21，…，第n个数为(1)1232nnn．⑶750．第n个数为2(1)1nnn．【变式】（2010年龙岩）观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．【解析】212kk．【变式】（理工附中期中练习）在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是_____．【解析】将上述各组数分成如下几组：1、12,22、123,,333、……，可发现每一组中数的个数依次为1，2，3，…，设第100个数位于第n组，则12110012nn≤≤，即(1)(1)10022nnnn≤≤，故14n．又前13组数的个数为1413912，又第n组的数分母均为n，故第100个数为914．【例5】⑴【★★】（2011年青海）观察下面的一列单项式：x，22x，34x，48x，…，根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为．⑵【★★】（2011眉山）一组按规律排列的多项式：ab，23ab，35ab，47ab，……，其中第10个式子是（）A．1019ab