第五章回归正交设计(2017)

第五章回归正交试验设计由于正交试验法具备十分显著的优点（正交性），在工农业生产中得到广泛应用。在利用正交试验法寻求最佳工艺和配方时，怎样利用已有的试验数据，在给出整个区域上的因素与指标之间，找出一个明确的函数表达式，建立生产过程的数学模型，以便用它来预报或控制生产。实际把回归分析法与正交试验法两者有机地结合起来，要求建立试验次数较少，而精度较高的回归方程，这就要求摆脱古典回归分析，即对试验的安排不提任何要求，对所求得的回归方程的精度（由于复杂性）也很少研究。为此，实验者必须主动地把试验的安排、数据的处理和回归方程的精度统一成一个整体加以考虑和研究。这就是几十年来发展起来的数理统计的一个分支——最优试验设计与应用所要研究的问题。第一节一次回归正交设计一次回归正交设计主要是运用二水平正交表[如L4(23)、L8(27)、L12(211)、L16(215)、L64(263)]等进行。在有三个因素的情况下，就可选用正交表L8(27)，并把正交表中的“1”与“2”二个水平改为“-1”与“+1”（或改为“+1”与“-1”均可），然后把三个因素分别放在第1、2、4列上。这时正交表中的“-1”与“+1”不仅表示因素的状态，而且还表示变量的取值；若三个因素之间还存在着交互效应（或称交互作用）。这些交互效应在回归中可用变量的非线性项等表示，这些交互效应仍占改造后的二水平正交表的一列，这一列可以从交互效应表上查得，也可直接从正交表上某二列上元素对应相乘得到[但L12(211)等例外]，显然，交互效应列加入试验计划，并不影响正交性。在交互效应可以忽略的情况下，在正交表上可以多排一些因素，这样就有各种部分实施法，如1/2实施，1/4实施等。第二节二次回归正交设计pjpjipjjjjjiijjjxbxxbxbby1120ˆ在应用一次回归正交设计法描述某个过程时，如果经统计检验发现一次回归方程不合适，就需要用二次或高次回归方程描述。目前，在工程上用二次回归方程近似描述某个过程变量间的关系较多。回归系数2222)1(211ppCppppCpqpjpjipjjjjjiijjjxbxxbxbby1120ˆ这就是说，要获得p个变量的二次回归方程，试验次数应不得小于q。另一方面为了算出二次回归方程的系数，每个变量所取的水平应不小于三，这就需要做更多的试验。目前，许多二次回归正交设计不通过全面试验来获得二次回归方程，这样可以减少试验次数。DONGHUAUNIVERSITY小结：二次回归方程的常数项和平方项破坏了原来的正交性对策：“平方项中心化”东华大学DONGHUAUNIVERSITY第四节二次回归的正交组合设计210ˆjjjpjijiijpjjjxbxxbxbby221211ppppCCCCq人们在研究了这个矛盾以后提出了一种“组合设计”。所谓“组合设计”，就是在因子空间中选择几类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划。下面以p=2和p=3的情况为例，来说明组合设计中试验点在因子空间中的分布。··········从上述可以看出，一般p个变量的组合设计由下列N个点组成：N=mc＋2p＋m0。•mc——二水平（+1和-1）的全因子试验的试验点个数2p，或它部分实施时的试验点个数等。•2p—分布在p个坐标轴上的星号点，它们与中心点的距离称为星号臂，是待定参数。根据一定的要求（如正交性，旋转性）调节，就可以得到各种具有很好性质的设计（如正交设计，旋转设计）。•mo—在各变量都取零水平的中心点的重复试验次数。它可以只做一次，也可以重复二次或多次。它在一次回归的基础上获得，这对试验者是方便的。因为如果一次回归不显著，那么只要在一次回归试验的基础上，再在星号点和中心点补充做一些试验，就可求得二次回归方程。cccccccccmmmeeefmmemfmemmfeeeeNXX'cccccccccmmmeeefmmemfmemmfeceeNXX'1111111)'(cccmmmeeeFGGEGFGEGGFEEEEKXX。，，，，ccccNmeHGeHEepNmpNfHFmpfHKpeNmpNfH21121142442)1()2()1(2)1(2m0p2345（1/2实施）11.001.4762.0002.3921.1601.6502.1982.5831.3171.8312.3902.7741.4752.0002.5802.9551.6062.1642.7703.1461.7422.3252.9503.3171.8732.4813.1403.4982.0002.6333.3103.6692.1232.7823.4903.83102.242.9283.664.00（正交二次回归组合设计）2值表进行平方项中心化(E=0)aajajajxNxx.122'E=0三因子的二次回归正交设计的结构矩阵X（m0=1）No.x0x1x2x3x1x2x1x3x2x3x1'x2'x3'111111110.270.270.272111-11-1-10.270.270.27311-11-11-10.270.270.27411-1-1-1-110.270.270.2751-111-1-110.270.270.2761-11-1-11-10.270.270.2771-1-111-1-10.270.270.2781-1-1-11110.270.270.27911.215000000.746-0.73-0.73101-1.215000000.746-0.73-0.7311101.2150000-0.730.746-0.731210-1.2150000-0.730.746-0.73131001.215000-0.73-0.730.74614100-1.215000-0.73-0.730.746151000000-0.73-0.73-0.73第四节二次回归正交设计的统计分析确定因子的变化范围。编制因子水平的编码表选择相应的组合设计回归系数的计算与检验DONGHUAUNIVERSITY第六节回归正交设计的应用