初中数学【8年级下】18.2.1 第2课时　矩形的判定

A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一有一个角是直角的平行四边形是矩形1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是(C)A．AB＝BCB．AC⊥BDC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠22．如图，已知点D是△ABC的边BC(不含点B，C)上的一点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，要使四边形AFDE是矩形，则△ABC满足的条件是．∠A＝90°(答案不唯一)3．如图，P是▱ABCD的边AD的中点，且PB＝PC.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠D＋∠A＝180°.∵P是DA边的中点，∴AP＝DP.又∵PB＝PC，∴△ABP≌△DCP.∴∠D＝∠A.∴∠D＝∠A＝90°.∴平行四边形ABCD是矩形．4．(2020·聊城中考)如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.∵E为BC的中点，∴EB＝EC.∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AB＝FC.∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AD＝AF，FC＝AB＝CD，∴AC⊥DF，即∠ACF＝90°.∴四边形ABFC是矩形．知识点二对角线相等的平行四边形是矩形5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，当对角线AC与BD满足时，四边形ABCD是矩形．AC＝BD6．(教材P60T1变式)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴AC＝2AO，BD＝2OD.∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．知识点三有三个角是直角的四边形是矩形7．在数学活动课上，老师和同学们要判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是(D)A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量三个内角是否都为直角8．平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是(B)A．梯形B．矩形C．正方形D．不是平行四边形9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ABE≌△CDF；证明：(1)∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD，∠B＝∠D，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)．(2)四边形AECF为矩形．(2)∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠CFA＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAD＝180°－∠AEC＝90°.∴四边形AECF为矩形．10．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上的两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是(A)A．OM＝12ACB．MB＝MOC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND11．(易错题)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(C)A．①②③B．①②④C．②⑤⑥D．④⑤⑥12．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加条件ACBD，才能保证四边形EFGH是矩形．⊥如图，∵F，G，H，E分别是AB，BC，CD，AD的中点，∴HG∥＝12BD，EF∥＝12BD.∴HG綊EF，四边形EFGH是平行四边形．∵HG∥BD，∴∠EHG＝∠1.易证EH∥AC.∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG.∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°.∴∠2＝90°.∴AC⊥BD.故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．13．(2020·洪山区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中，点E在边BC上，DE与AC相交于点O.连接AE，DC，AD.当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形？说明理由．解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC.∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD.∴AD∥EC，AD＝EC.∴四边形AECD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECD是矩形．14．如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于点E，AD＝AO，DC⊥OM于点C.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(1)证明：∵AB⊥OM于点B，DE⊥ON于点E，∴∠ABC＝∠ABO＝∠DEA＝90°.在Rt△ABO与Rt△DEA中，∵AO＝DA，OB＝AE，∴Rt△ABO≌Rt△DEA(HL)．∴∠AOB＝∠DAE.∴AD∥BC.又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)若DE＝3，OE＝9，求四边形ABCD的面积．(2)解：由(1)知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB＝DE＝3.设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE－OA＝9－x.在Rt△DEA中，由AE2＋DE2＝AD2得(9－x)2＋32＝x2，解得x＝5.∴AD＝5.∴矩形ABCD的面积为5×3＝15.15．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF，CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC.∴∠ABE＝∠CDF.∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝12OB，DF＝12OD.∴BE＝DF.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．(2)解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA.∵E是OB的中点，∴AG⊥OB.∴∠OEG＝90°.同理可证CF⊥OD，∴EG∥CF.由(1)知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.又∵AE＝EG，∴EG＝CF.∴四边形EGCF是平行四边形．∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．