21.4 《一元二次方程》　　小结与复习

《一元二次方程》小结与复习学习目标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点运用知识、技能解决问题。学习难点解题分析能力的提高．教学互动设计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac，当⊿0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=242bbaca；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=ab，x1•x2=ac。若一元二次方程2x+px+q=0的两根为1x、2x，则：x1＋x2==-p，x1•x2=q。6、一元二次方程的应用。二、基本知识训练1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【C】A．2210xxB．20axbxcC．(1)(2)1xxD．223250xxyy2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【B】A．1B．﹣1C．0D．无法确定4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【A】A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=166、若一元二次方程022mxx有实数解，则m的取值范围是【B】A．1-mB．1mC．4mD．21m7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【D】A．x2+2x-4=0B．x2-4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x-5=08、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则nm11-35。三、典型例题分析【例1】用适当的方法解下列方程：⑴x2﹣4x+2=0⑵(1)(1)2(3)8xxx⑶1222xxx解：⑴x=22；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=52。【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式)252(6332xxxxx的值．解：∵)252(6332xxxxx=29)2(332xxxxx=)3)(3(2)2(33xxxxxx=)3(31xx又∵x2+2x-8＝0，∴x1＝-4，x2＝2，但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式=)3(31xx=121【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.解：（1）∵原方程有两个实数根，∴⊿=9-4(m-1)≥0，解之得：413m.（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2=m-1，∴2×(-3)+(m-1)+10=0解之得：m=-3.【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求ab＋ba的值；（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．解：（1）设x2＋mx＋n＝0(n≠0)的两根为x1，x2．∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴11x＋21x＝1212xxxx＝－mn，11x·21x＝1n．∴所求一元二次方程为x2＋mxn＋1n＝0，即nx2＋mx＋1＝0．（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，∴a＋b＝15，ab＝－5．∴ab＋ba＝22abab＝2()2ababab＝152(5)5＝－47．②当a＝b时，ab＋ba＝1＋1＝2．∴ab＋ba＝－47或2．（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝16c．∴a，b是方程x2＋cx＋16c＝0的两根．∴△＝c2－416c≥0．∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元。试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：（1）设平均每次下调的百分率为x，依题意可列方程：2.3)1(52x解这个方程，得2.01x，8.12x因为降价的百分率不可能大于1，所以8.12x不符合题意，符合题目要求的是202.01x%答：平均每次下调的百分率是20%。（2）小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为：1440050009.02.3（元）方案二所需费用为：15000520050002.3（元）∵1440015000，∴小华选择方案一购买更优惠。四、经典考题训练1、下列方程，是一元二次方程的是①④⑤。①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③412xx，④x2=0，⑤0432xx2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=-2。3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为-2，则实数k的值为【C】A．1B．1C．2D．24、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【B】A、1B、1C、1或1D、0.55、方程2310xx的解是123535,22xx．6、已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如x2=1等．7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）=-6．9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1．10、用适当的方法解下列方程：⑴x2-2x-3=0⑵x(x-2)+x-2=0⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8⑷x2-3x-1=0解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷2133x11、先化简，再求值：2221111aaaaa，其中a是方程62xx的根．解：原式=22(1)(1)(21)11aaaaaa=222211aaaaa=21(1)(1)(2)aaaaaa=21aa∵a是方程62xx的根，∴62aa∴原式=21aa=6112、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根∴(k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-160∴k43且k≠213、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求2112xxxx的值.解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，∴2112xxxx=212122xxxx=21212212)(xxxxxx=8)8(272=-865．14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且1222xx，求m的值，并求出此时方程的两根．（1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵1222xx；∴2212()(22)xx，∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0,解得：m1=-3，m2=1．当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：122,2xx．当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：1222,22xx15、阅读下面的材料，回答问题：解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，b2－4ac=1－4×2=－70，此时方程无解．所以原方程的解为x1=－3，x2=2．16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解之得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解得：x1=220，x2=80．当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，∴x=80，答：该校共购买了80棵树苗．