18.抛物线与圆的综合

页优秀领先飞翔梦想成人成才拔高专题抛物线与圆的综合一、基本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。二、拔高精讲精练探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题例1:（2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=14（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD=2254=3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0）；（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=14（x-5）2+k，得：k=-94，∴E（5，-94），页优秀领先飞翔梦想成人成才∴DE=94，∴ME=MD+DE=4+94=254，EA2=32+（94）2=22516，∵MA2+EA2=52+22516=22516，ME2=22516，∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如下：由勾股定理得：BC=22OCOB=2248=45，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD=22BPBD=2803=71，∴P（5，71）；③当PC=BC=45时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM=22PCMC=2805=55，∴PD=4+55，∴P（5，4+55）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）．【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=-12（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．页优秀领先飞翔梦想成人成才（1）解：∵y=-12（x2-7x+6）=-12（x2-7x）-3=-12（x-72）2+258，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-12（x-72）2+258，顶点M的坐标是（72，258）；（2）解：∵y=-12（x2-7x+6），∴当y=0时，-12（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=72的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=2263=35．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴603kbb＝＝，解得231kb＝＝，∴直线BC的解析式为：y=12x-3，令x=72，得y=12×72-3=-54，∴R点坐标为（72，-54）；（3）证明：设点P坐标为（x，-12x2+72x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（72，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为12AB=52，∴NP=52，即（x-72）2+（-12x2+72x-3）2=（52）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（72，258），N（72，0），∴PM2=（2-72）2+（2-258）2=22564，PN2=（2-72）2+22=254=40064，MN2=（258）2=62564，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．页优秀领先飞翔梦想成人成才【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代入得：40420648cabcabc＝＝＝，解得41452abc＝＝＝．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=14x2+52x+4；页优秀领先飞翔梦想成人成才（2）∵y=14x2+52x+4=14（x+5）2-94，∴E（-5，-94），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直线CE与y轴交于点G，则05429mnmn＝＝，解得：3432mn＝＝，∴y=34x+32，在y=34x+32中，令x=0，y=32，∴G（0，32），如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB-OG=4-32=52，CG=22OCOG=2223()2=52，∴BG=CG，AB=AC，在△ABG与△ACG中，ABACBGCGAGAG＝＝＝，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG，∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切；（3）存在点F，使△BDF面积最大，如图2连接BD，BF，DF，设F（t，14t2+52t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则408dkd＝＝，解得412kd＝＝．∴直线BD的解析式为y=12x+4，∴点N的坐标为（t，12t+4），∴FN=12t+4-（14t2+52t+4）=-14t2-2t，∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=12OD•FN=12×8×（-14t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，∴当t=-4时，S△BDF最大，最大值是16，当t=-4时，14t2+52t+4=-2，∴F（-4，-2）．页优秀领先飞翔梦想成人成才【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）．（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴42064804abcabcc＝＝＝，解得14324abc＝＝＝，∴抛物线的解析式为：y=14x2-32x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC，由勾股定理得：AC=20，BC=80．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）；（2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴804kbb＝＝，＝＝，∴直线BD解析式为：y=-12x+4．设M（x，14x2-32x-4），如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-12x+4）．∴ME=（-12x+4）-（14x2-32x-4）=-14x2+x+8．∴S△BDM=S△MED+S△MEB=12ME（xE-xD）+12ME（xB-xE）=12ME（xB-xD）=4ME，∴S△BDM=4（-14x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；解法二：如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m，14m2-32m-4），∵S△OBD=12OB•OD=12=16，S梯形OBMN=12（MN+OB）•ON=12（m+8）[-（14m2-32m-4）]=-12m（14m2-32m-4）-4（14m2-32m-4），S△MND=12MN•DN=12m[4-（14m2-32m-4）]=2m-12m（14m2-32m-4），∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN-S△MND=16-12m（14m2-32m-4）-4（14m2-32m-4）-2m+12m（14m2-32m-4）=16-4（14m2-32m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．页优秀领先飞翔梦想成人成才【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.