初中数学【9年级上】24.2.2

24.2.2直线和圆的位置关系知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点一直线与圆的位置关系直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线.直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.设☉O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则直线l和☉O相交⇔dr;直线l和☉O相切⇔d=r;直线l和☉O相离⇔dr.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五名师解读:直线和圆的位置关系,还可用下表表示:直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线距离d与半径r的关系drd=rdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无判定一条直线与圆的位置关系时,既可以用直线与圆的公共点的个数来判定它们的位置关系,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定它们的位置关系.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例1如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,O在AB上,且☉O的半径为1.问当x在什么范围内取值时AC与☉O相离、相切、相交?分析:由三角形的内角和定理可求出∠A的大小,根据含30°角的直角三角形的性质即可得到OD和AO的关系,(1)若圆O与AC相离,则有OD大于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围;(2)若圆O与AC相切,则有OD=r,求出x的值即可;(3)若圆O与AC相交,则有OD小于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解:如图,作OD⊥AC.∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°,∵AO=x,∴OD=12x.(1)若圆O与AC相离,则有OD大于r,即12x1,解得x2;(2)若圆O与AC相切,则有OD等于r,即12x=1,解得x=2;(3)若圆O与AC相交,则有OD小于r,即012x1,解得0x2.综上可知,当x2时,AC与☉O相离;x=2时,AC与☉O相切;0x2时,AC与☉O相交.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解答这类问题时,可以先画出草图,利用直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点二切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.名师解读:切线的判定方法可以归纳为两种:(1)定义法:和圆有唯一公共点的直线是圆的切线或到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;(2)切线的判定定理.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例2如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于E.求证:DE是☉O的切线.分析:连接OD,由OB=OD,AB=AC,可得到∠ODB=∠C,即OD∥AC,而DE⊥AC,即可得到OD⊥DE,从而得到DE是☉O的切线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五证明:如图所示,连接OD,则OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠OBD=∠C.∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.又∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE是☉O的切线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点三切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.名师解读:切线的性质定理与判定定理互为逆定理,切线的判定定理是由“垂直得切线”;而性质定理是由“切线得垂直”.当已知条件中有切线,而图形中没有经过切点的半径(或直径)时,通常作出经过切点的半径,这是解答这类问题的常规辅助线.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例3如图,P是☉O外一点,PA是☉O的切线,A为切点,PO与☉O相交于B点,已知∠P=28°,C为☉O上一点,连接CA,CB,则∠C的度数为()A.28°B.62°C.31°D.56°知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解析:由于∠C是圆周角,而图中没有𝐴𝐵所对的圆心角,又A为切点,故想到连接AO.∵PA是☉O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.又∵∠P=28°,∴∠O=180°-90°-28°=62°.∵∠O和∠C对的是同一条弧,∴∠C=12∠O=12×62°=31°.答案:C知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五当题目中有圆的切点,而过切点的半径又没有时,一般作出这条半径,再利用切线的性质定理结合圆周角等其他知识来求解.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点四切线长及其定理切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.名师解读:理解“切线长”时可以类比“两点间的距离”,切线长是数量,而不是图形.运用切线长定理可以得出角相等和线段相等,因此,在解答与两条切线有关的问题时,常常运用此定理找相等的角或线段.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例4如图,PA,PB分别切☉O于A,B,PA=10cm,C是劣弧上的点(不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F.则△PEF的周长为()A.10cmB.15cmC.20cmD.25cm𝐴𝐵知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解析:由于△PEF的三边都是变化的,而图形中有三条圆的切线,故易考虑到使用切线长定理进行转化.∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PB=PA=10cm.∵EA与EC为☉O的切线,∴EA=EC,同理得到FC=FB,∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=10+10=20(cm).答案:C知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解答本题关键是运用切线长定理得出EC=AE,CF=FB,最后把三角形的周长转化成两条切线长的和.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五知识点五内切圆及内心内切圆:与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.名师解读:(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆的外切三角形有无数多个.(2)三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点,这点到三角形三边的距离相等,一定在三角形的内部.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五例5如图,☉O是Rt△ABC的内切圆,D,E,F分别为切点,∠ACB=90°,则∠EDF的度数为()A.25°B.30°C.45°D.60°知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解析:由于∠EDF是圆周角,所以考虑构造出所对的弧所对的圆心角,又有切点,所以想到连接OE,OF.∵☉O是Rt△ABC的内切圆,D,E,F分别为切点,∴OE⊥BC,OF⊥AC.∴∠OEC=∠OFC=90°.∵∠C=90°,由四边形的内角和得∠EOF=90°.∴∠EDF=∠EOF=45°.答案:C12知识点一知识点二知识点三知识点四知识点五解答这类问题的关键是构造出∠EDF所对应的圆心角.拓展点一拓展点二拓展点一直线与圆的位置关系的灵活运用例1如图所示,正方形的边长为4,☉O的半径为1,正方形中心O1与圆心O在直线l上,☉O与CD边相切,☉O以1cm/s的速度向左边运动.(1)当运动时间t在何数值范围时☉O与CD相交?(2)当t为何值时,☉O与AB相切?拓展点一拓展点二分析:(1)由t=0或t=2时,☉O与CD边相切,得出当0t2时,☉O与CD相交;(2)由t=4或6时,O到AB的距离d=1,得出☉O与AB相切.解:(1)根据题意得,当t=0或t=2时,☉O与CD边相切,故当0t2时,O到CD的距离d1,☉O与CD相交.(2)根据题意得,当t=4时,O到AB的距离d=1,☉O与AB相切;当t=6时,O到AB的距离d=1,☉O与AB相切.综上所述,当t=4或6时,☉O与AB相切.拓展点一拓展点二解答这类问题,仔细观察图形,由题意得出圆心到直线的距离d与半径r的数量关系是解决问题的关键.拓展点一拓展点二拓展点二证明圆的切线的常用方法例2如图,已知AB为☉O的直径,过点B作☉O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC.求证:CD是☉O的切线.拓展点一拓展点二分析:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是☉O的切线,只要证明∠ODC=90°即可,而易发现图形中的∠ABC是直角,只要设法证明∠CDO=∠ABC即可.拓展点一拓展点二证明:连接OD.∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.又∵OB=OD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.∵BC是☉O的切线,∴∠OBC=90°.∴∠ODC=90°.∴DC是☉O的切线.拓展点一拓展点二解答这类既有圆的切线,又要求证明圆的切线的问题,可以从切线的性质出发,结合其他条件,数形结合进行分析,逐步探求出证明的思路.