24223切线长定理和三角形的内切圆(1)

（2）直线l和⊙O相切（1）直线l和⊙O相离（3）直线l和⊙O相交drd=rdrdorldorlodrl1.直线和圆的位置关系(1)若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于经过这点的半径；——连半径，证垂直(2)若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．——作垂直，证相等2.证明直线是圆的切线有如下两种方法:画一画●O●P●O●P1.已知⊙O上有一点P,你能过点p作出⊙O的切线吗?2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与⊙O相切。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。ABPO。切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。·opAB如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)在Rt△OAP中，由勾股定理，得PA2+OA2=OP2即42+x2=(x+2)2解得x=3cm所以，半径OA的长为3cm.·P·OABc如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。3解：连接OA、AC，则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA＝x则OP＝x＋23∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）23解得x＝2，即OA＝OC＝233∴OP＝43在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半径为2，两切线的夹角为60°3·ABCDEO21例2如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC于点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线∵ＡＢ是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ∴ＤＥ∥ＯＣ例1、已知：PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E,PO=13,AO=5,则△PCD周长为______DOPBAC切线长定理的应用解：∵PA是切线∴AP⊥AO又∵PO=13，AO=5∴AP=12又∵PB是切线∴PB=PA=12又∵CD是切线∴DA=DE，CE=CB∴△PCD周长=PD+PC+CD=PD+PC+DE+CE=PA+PB=24E练习1、如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与⊙O的切线DC分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________BACDPO切线长定理的应用。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点想一想常见辅助线已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm例题1变式：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C·OPBDAE如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABC三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形叫圆的外切三角形定义如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ICABDEF⊙I与△ABC的三边相切于点D、E、F.因此ID=IE=IF=⊙I的半径r.问题１：作圆的关键是什么？问题２：怎样确定圆心的位置？问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ABC（确定圆心和半径）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?（不能）任何一个三角形都只有一个内切圆如何作出这个圆？（尺规作图）ICABEDF与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。3、以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆.作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.三角形内切圆的圆心叫三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等①三角形的内心是三角形角平分线的交点③三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质定义：和多边形各边都相切的圆叫做，这个多边形叫做。多边形的内切圆圆的外切多边形内切外切如上图，四边形DEFG是⊙O的四边形，⊙O是四边形DEFG的圆，DEFG.O思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆)定义例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。ABCO名称确定方法图形性质ABCO内心（三角形内切圆的圆心）三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部．（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．外心(三角形外接圆的圆心)如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO（2）若∠A=80°,则∠BOC=度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=度。∴∠BOC=180°-（∠ABC＋∠ACB）12=180°－60°=120°同理∠OCB=∠OCA=12∠ACB=35°解（1）∵点O是△ABC的内心，∠ABC=25°∴∠OBC=∠OBA=12试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？请说明理由．如图，△ABC中，∠ABC=500,∠ACB=750,点O是内心，求∠BOC的度数。CABO0000117.5OCBOBC180BOC37.5ACB21OCB25ABC21OBCO是内心点解：例1△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9思考：如果△ABC的周长为m,面积为s，那么内切圆的半径r是多少？·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF21212121＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2Sa＋b＋c三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.●ABC●O●┓ODEF老师提示:△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积.·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c直角三角形的内切圆已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4.求⊙O的半径r..12543r●ABC●O●┗┓ODEF练习1.已知三角形的内切圆半径为3，三角形的周长为20，则该三角形的面积为。CABO2、Rt△ABC中，斜边AB=10cm，AC=6cm，则内切圆半径为.ABCO3、如图,△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，求△ABC的外接圆半径r和内切圆半径R.CABDOI（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）2、如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE＝DB练习3、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（）（A）（B）（C）（D）332232225325ABCDEFO4、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（）（A）70°（B）110°（C）120°（D）130°5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）