2422直线与圆的位置关系之切线长定理

蓬莱大辛店中学徐岩.OAL切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径几何应用:∵L是⊙O的切线，∴OA⊥LA.OL经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.几何应用:2.与半径垂直．1.经过半径的外端；OA是⊙O的半径OA⊥L于AL是⊙O的切线.切线的判定定理:CABD练习1：已知：AB是弦，AD是切线，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关系并证明.E在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长·OPAB切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线,不可以度量；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长,可以度量。PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个APO。BM若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABAPO。B若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB（5）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。小结：APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=8cm，BC=13cm，CA=12cm，求AF、BD、CE的长。x12﹣xx12﹣x8﹣x8﹣x例题选讲ADCBOFE例.如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAF例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C·OPBDAE1、如图，△ABC中,∠ABC=50°，∠ACB=75°,点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。AOCB随堂训练变式：△ABC中,∠A=40°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。21∠BOC=90°+∠A2、△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）OACBrrr知识拓展若△ABC的内切圆半径为r,周长为l,则S△ABC=lr21．o．o．o．．o外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。ABC．oABC1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。1、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．提高题·OABCDEF·OABCDE2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.·BDEFOCA1、如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF21212121＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2Sa＋b＋c有关圆的计算问题·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。基础题：1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.EFHG正方形22cm2cm同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！切线长定理拓展回顾反思1.切线长定理OBP··A·从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质COBADEF知识拓展拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部a+b-c2知识拓展3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求：△PEF的周长和∠EOF的大小。EAQPFBO知识拓展4.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半径是_______.15.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.22cm知识小结直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.abc斜边中点斜边的一半三角形内部a+b-c2课前训练1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE知识拓展2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。求证：AC=BD·PABOCD