初中数学【9年级上】24.1.2 垂直于弦的直径 (5)

24.1圆的有关性质第二十四章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（RJ）教学课件24.1.2垂直于弦的直径1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．导入新课问题1：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：连接AO,BO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理及其推论一垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论归纳总结CD⊥AB,CD是直径AM=BM⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.可推得推导格式：ＤＣＡＢＥＯ思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.典例精析例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一∴22221068AEOAOEcm.例2如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴1184(cm)22ADAB设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件..CDABO.CDABOCDABOMNMMNEE.ACDBO.ACDBO.ABO.ABOABO归纳总结垂径定理的实际应用二我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.222OAADOD练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.64CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd2a2222ardd+h=rOABC·1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=___.103cm3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为____.14cm或2cm当堂练习4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD..ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF,CDOE11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.拓展提升：7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3cm≤OP≤5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结见《学练优》本课时练习课堂作业