初中数学【9年级下】九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定同步测试 （新版）新人教版 (61

相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例定理[见B本P69]1．如图27－2－1，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(B)A．7B．7.5C．8D．8.5【解析】∵a∥b∥c，∴ACCE＝BDDF，∴46＝3DF，∴DF＝4.5，∴BF＝BD＋DF＝7.5.图27－2－1图27－2－22．如图27－2－2，若l1∥l2，那么以下比例式中正确的是(D)A.MRNR＝RPRQB.MRNP＝NRMQC.MRMQ＝RPNPD.MRRQ＝NRRP3．如图27－2－3，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是(A)图27－2－3A.ABBC＝BDCEB.ABAC＝BDCEC.ADAE＝BDCED.ABAC＝ADAE4.如图27－2－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，ADDB＝34，则EC的长是(B)图27－2－4A．4.5B．8C．10.5D．14【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC，∵AE＝6，∴34＝6EC，解得EC＝8，则EC的长是8.5．如图27－2－5所示，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为(B)图27－2－5A．9B．6C．3D．4【解析】∵DE∥BC，∴ADBD＝AECE.∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴510＝3CE，∴CE＝6，故选B.6．如图27－2－6，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(A)图27－2－6A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BDC．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD【解析】由△ABC∽△DBA可得对应边成比例，即ABDB＝BCBA，再根据比例的性质可知AB2＝BC·BD，故选A.7．如图27－2－7，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则AOCO的值为(B)A.12B.13C.14D.19图27－2－7图27－2－88．如图27－2－8，已知DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是(D)A.ADDC＝AFDEB.CECB＝BFABC.CDAD＝CEDFD.AFBF＝DFBC【解析】A正确，∵DE∥AB，DF∥BC，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF.∵DF∥BC，∴ADDC＝AFBF，∴ADDC＝AFDE；B正确，∵DE∥AB，∴CECB＝CDCA，又DF∥BC，∴CDCA＝BFAB，∴CECB＝BFAB；C正确，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE.∵DE∥AB，∴CDAD＝CEBE，∴CDAD＝CEDF；D不正确，∵DF∥BC，∴AFAB＝ADAC，又DE∥AB，∴ADAC＝BEBC，∴AFAB＝BEBC，又BE＝DF，∴AFAB＝DFBC.9．如图27－2－9，已知AC∥DB，OA∶OB＝3∶5，OA＝9，CD＝32，则OB＝__15__，OD＝__20__．【解析】∵OAOB＝35，∴OB＝53OA＝53×9＝15.设OD＝x，则OC＝32－x.∵AC∥DB，∴OAOB＝OCOD，∴35＝32－xx，解得x＝20.图27－2－9图27－2－1010．如图27－2－10，已知l1∥l2∥l3，AM＝3cm，BM＝5cm，CM＝4.5cm，EF＝12cm，则DM＝__7.5__cm，EK＝__4.5__cm，FK＝__7.5__cm.【解析】∵l1∥l2∥l3，∴AMBM＝CMDM，∴35＝4.5DM，∴DM＝7.5cm.∵l1∥l2∥l3，∴EKEF＝AMAB，∴EK12＝38，∴EK＝4.5cm，∴FK＝EF－EK＝12－4.5＝7.5(cm)．11.如图27－2－11，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)图27－2－11A.5∶8B．3∶8C.3∶5D．2∶5【解析】∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8，∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.12．如图27－2－12，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是(C)A.EDEA＝DFABB.DEBC＝EFFBC.BCDE＝BFBED.BFBE＝BCAE图27－2－12图27－2－1313．如图27－2－13，已知FG∥BC，AE∥GH∥CD，求证：ABBF＝EDDH.【解析】观察图形，我们会发现AE∥GH∥CD，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得EDDH＝ACCG；由FG∥BC，知它具备了定理推论中的“A”型的基本图形，可推得ACCG＝ABBF，从而可证得EDDH＝ABBF.证明：∵AE∥GH∥CD，∴EDDH＝ACCG.∵FG∥BC，∴ACCG＝ABBF，∴EDDH＝ABBF.14．如图27－2－14，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：OAOM＝OCOG.证明：∵AB∥MN，∴OAOM＝OBON，又∵BC∥NG，∴OBON＝OCOG，∴OAOM＝OCOG.图27－2－14图27－2－1515．如图27－2－15，▱ABCD中，E在CD延长线上，BE交AD于F.若AB＝3，BC＝4，DF＝1，求DE的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC.∵AB∥DC，AD∥BC，∴AFDF＝BFFE＝CDDE，∴ABDE＝AFDF，又∵AF＝AD－DF＝BC－DF＝3，∴3DE＝31，∴DE＝1.16．如图27－2－16，已知AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E.求证：ABAC＝BDDC.图27－2－16证明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE.又∵∠BAD＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC.又∵CE∥AD，∴ABAE＝BDDC，∴ABAC＝BDDC.第2课时相似三角形判定定理1、2[见A本P71]1．如图27－2－17，在△ABC中，DE∥BC，若ADBD＝12，DE＝4cm，则BC的长为(B)图27－2－17A．8cmB．12cmC．11cmD．10cm【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB＝DEBC.∵ADBD＝12，∴ADAB＝13，∴13＝4BC，∴BC＝12cm，选择B.2.能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是(D)A.ABA′B′＝ACA′C′≠BCB′C′B.ABAC＝A′B′A′C′，∠A＝∠C′C.ABA′B′＝BCA′C′，且∠B＝∠A′D.ABA′B′＝BCB′C′，且∠B＝∠B′3．如图27－2－18，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(B)图27－2－18A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似【解析】两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如图27－2－19，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③ADAE＝ABAC.其中正确的有(A)A．3个B．2个C．1个D．0个【解析】点D，E分别是AB，AC的中点，所以由中位线定理得DE∥BC，且DE＝12BC，①正确；因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，②正确；由②得ADAE＝ABAC，③正确．故选A.图27－2－19图27－2－205．如图27－2－20，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是(B)A．∠AEF＝∠DECB．FA∶CD＝AE∶BCC．FA∶AB＝FE∶ECD．AB＝DC【解析】∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE，∴FACD＝AEDE，故结论B错误．∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC，∴FAFB＝FEFC，即FBFA＝FCFE，∴FA＋ABFA＝FE＋ECFE，∴ABFA＝ECFE，即FA∶AB＝FE∶EC，故结论C正确．而A，D显然正确，∴应选B.6．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝23AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE长为__6或8__．【解析】(1)当△AED∽△ABC时，此时图形为(a)，可得DE＝6；(2)当△AED∽△ACB时，此时图形为(b)，可得DE＝8.7．如图27－2－21，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求ADAB的值；(2)求BC.图27－2－21解：(1)∵AD＝4，DB＝8，∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，∴ADAB＝412＝13.(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB.∵DE＝3，∴3BC＝13，∴BC＝9.8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.图27－2－22【解析】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF.解：∵AC＝2，BC＝12＋32＝10，AB＝4，DF＝22＋22＝22，EF＝22＋62＝210，ED＝8，∴ACDF＝BCEF＝ABDE＝12，∴△ABC∽△DEF.9．如图27－2－23，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．图27－2－23(1)求证：△DEF∽△ABC；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC相似？解：(1)证明：∵D，F分别是△ABC的边BC，BA的中点，∴DF＝12AC，同理EF＝12CB，DE＝12AB，则DFAC＝EFCB＝EDAB，∴△DEF∽△ABC；(2)∵E，F分别是△ABC的三边CA，AB的中点，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ABC.同理，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC.∴图中与△ABC相似的三角形还有△AFE，△FBD，△EDC.10．如图27－2－24，△ABC是等边三角形，D，E在BC边所在的直线上，且AB·AC＝BD·CE.求证：△ABD∽△ECA.图27－2－24证明：∵△ABC是等边三角形(已知)，∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角的补角相等)．又AB·AC＝BD·CE(已知)，即ABEC＝BDCA，∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．11．如图27－2－25，已知正方形ABCD中，F为BC上一点，且BF＝3FC，E为DC的中点．求证：△ADE∽△ECF.图27－2－25证明：∵正方形ABCD中，E为CD中点，∴CE＝ED＝12CD＝12AD.∵BF＝3FC，∴FC＝14BC＝14AD＝12CE.∴CFCE＝DEAD＝12，即CFDE＝CEAD.∵∠C＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ECF.12．如图27－2－26，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，请在图中找出与∠ADE相等的角，并说明理由．图27－2－26【解析】由AB·AD＝AE·AC得ABAE＝ACAD，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE相等的角．解：∠C＝∠ADE，理由如下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC.∵AB·AD＝AE·AC，∴ABAE＝ACAD，∴△ABC∽△AED，∴∠ADE＝∠C.13.如图27－2－27，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．图27－2－27解：△ABC∽△DBA.理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x，根据勾股定理，AB＝x2＋x2＝2x，AC＝x2＋（2x）2＝5x，AD＝x2＋（3x）2＝10x，∵BCAB＝x2x＝22，ABBD＝2x2x＝22，ACAD＝5x10x＝22，∴B