初中数学【9年级下】28.2.2 第3课时　利用方向角、坡度解直角三角形

第二十八章锐角三角函数28．2解直角三角形及其应用28．2.2应用举例第3课时利用方向角、坡度解直角三角形A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一解与方向角有关的问题1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A．250米B．2503米C.50033米D．5002米A2．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为()A．603nmileB．602nmileC．303nmileD．302nmileB3．(2020·咸宁中考)如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上．如果轮船不改变航向继续向东航行，那么当轮船到达灯塔P的正南方时，轮船与灯塔P的距离是nmile(结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73)．20.84．如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1海里)解：如图，过点P作PC⊥AB于点C.由题意可知∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝20海里．在Rt△APC中，∵cos∠APC＝PCAP，∴PC＝20×cos60°＝10(海里)．∴AC＝AP2－PC2＝202－102＝103(海里)．在Rt△PBC中，∵∠BPC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形．∴BC＝PC＝10海里．∴AB＝AC－BC＝103－10≈7.3(海里)．答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．知识点二解与坡度有关的问题5．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°米D．AB＝1.2cos10°米B6．若小王沿坡度i＝3∶4的斜坡向上行走10m，则他所在的位置比原来的位置升高了()A．3mB．4mC．6mD．8mC7．(2020·百色期末)某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i＝1∶3，则这个斜坡坡角为()A．30°B．45°C．60°D．90°A8．(2020·新宾县四模)如图，斜坡AB的坡度i＝1∶2，坡脚B处有一棵树BC，某一时刻测得树BC在斜坡AB上的影子BD的长度为10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则树BC的高度为米(结果保留根号)．(25＋415)9．(2020·湘潭中考)为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度i1＝1∶3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度i2＝1∶4，求斜坡AF的长度(结果精确到0.01m，参考数据：3≈1.732，17≈4.123)．解：∵DE的坡度i1＝1∶3，∴DCCE＝13，即CE＝3CD.在Rt△DCE中，DE＝DC2＋CE2＝2DC＝10.解得DC＝5.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5.∵斜坡AF的坡度为i2＝1∶4，∴ABBF＝14.∴BF＝4AB＝20.在Rt△ABF中，AF＝AB2＋BF2＝517≈20.62(m)．故斜坡AF的长度约为20.62m.10．(2020·重庆中考)如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)()A．76.9mB．82.1mC．94.8mD．112.6mB11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为()A．(30＋303)kmB．(30＋103)kmC．(10＋303)kmD．303kmB12．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度(结果保留整数，参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，cos42°≈34，tan42°≈910)．解：如图，过C作CE⊥AB于点E，DF⊥AB交AB的延长线于点F，则CE∥DF.∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形．∴EF＝CD＝120m，DF＝CE.在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80m，∴DF＝cos32°·BD≈80×1720＝68(m)，BF＝sin32°·BD≈80×1732＝852(m)．∴BE＝EF－BF≈120－852＝1552(m)．在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF≈68m，∴AE＝CE·tan42°≈68×910＝3065(m)．∴AB＝AE＋BE≈3065＋1552≈139(m)．答：木栈道AB的长度约为139m.13．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶3(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶3，∴tanα＝13＝33.∴α＝30°.(1)若新坡面坡角为α，求坡角α的度数；(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．(2)该文化墙PM不需要拆除，理由如下：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan∠CAD＝CDAD＝6AD＝13.解得AD＝63米．∵坡面BC的坡度为1∶1，CD＝6米，∴BD＝6米．∴AB＝AD－BD＝(63－6)米．又∵PB＝8米，∴PA＝PB－AB＝8－(63－6)＝14－63≈14－6×1.732≈3.6(米)＞3米．∴该文化墙PM不需要拆除．14．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间的水平距离为5米，∠ACB＝21.5°.解：(1)如图，作GD⊥AD，交AC于点G.∵∠ACB＝21.5°，AD∥BC，(1)通过计算说明身高2.1米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；∴∠DAG＝21.5°.∴DG＝tan21.5°×5≈25×5＝2(米)＜2.1米．∴会碰到头部．(2)若采用中段加平台设计(如图虚线所示)，已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1∶2，求平台MN的长度(参考数据：sin21.5°≈925，cos21.5°≈910，tan21.5°≈25)．(2)如图，过点M作ME⊥AB，垂足为点E，过点N作NF⊥CB，垂足为点F.∵AB＝8米，∴CB＝ABtan21.5°825＝20(米)．设FN＝x米，则AE＝(8－x)米．∵AM段和NC段的坡度i＝1∶2，∴EM＝2(8－x)＝(16－2x)(米)，CF＝2x米．易知四边形EBFN为矩形，则EN＝BF.∴MN＝EN－EM＝BF－EM＝BC－CF－EM＝20－16－2x－2x＝4(米)．即平台MN的长度为4米．