初中数学【9年级下】模型构建专题：相似三角形中的基本模型(二)

第二十七章相似模型构建专题：相似三角形中的基本模型(二)相似基本模型(二)：“母子”型、垂直型、一线三等角型1．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC.若AC＝3，AD＝1，求DB的长．解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴=ADACACAB.∵AC＝3，AD＝1，∴13=3AB.∴AB＝3.∴DB＝AB－AD＝3－1＝2.2．(2020·苏州中考)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：△ABE∽△DFA；(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∴△ABE∽△DFA.(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2.∵AB＝6，∴AE＝22+=ABBE226+2=210.(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.∵△ABE∽△DFA，∴=ABAEDFAD.∴DF＝646==105210ABADAEg.3．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC(点D、E、F的对应点分别为点A、B、C)，则称△DEF是△ABC的子三角形．(1)如图①，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是△ABC的子三角形；(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE，△DAF≌△EBD≌△FCE.∴DE＝EF＝DF.∴△DEF是等边三角形．∴∠DEF＝∠EDF＝∠B＝∠A＝60°.∴△DEF∽△ABC.∴△DEF是△ABC的子三角形．(2)如图②，△DEF是△ABC的子三角形，且AB＝AC，∠A＝90°.若BE＝2，求CF和AD的长．(2)解：如图②，作EH⊥AB于点H，∴∠DHE＝90°.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵△DEF是△ABC的子三角形，∴△DEF∽△ABC.∴DE＝DF，∠EDF＝90°.∵∠ADF＋∠AFD＝90°，∠ADF＋∠EDH＝90°.∴∠EDH＝∠AFD.∵∠DHE＝∠A＝90°，∴△DEH≌△FDA.∴AD＝HE.易知△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝222=22BE＝1.∴AD＝1.∵∠DEC＝∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∴∠CEF＝∠BDE.∴△BDE∽△CEF.∴22===22BEDEDECFEFDE.∴CF＝2.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC.∴△ABP∽△PCD.∴=BPBACDCP.∴BA·CD＝CP·BP.∵BA＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)证明：由(1)△ABP∽△PCD，∴=ABAPCPPD.又∵BP＝CP，(2)当P为BC的中点时，求证：△ABP∽△APD；∴=ABAPBPPD.又∠APD＝∠B，∴△ABP∽△APD.(3)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.(3)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA.∴=BABPBCBA.∵AB＝10，BC＝12，∴10=1210BP.∴BP＝253.