初中数学【9年级下】专题3：反比例函数与几何知识的综合

中考热点专题专题三：反比例函数与几何知识的综合1．如图，一次函数y＝x－2的图象与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，连接OA、OB，且tan∠AOC＝13.解：(1)如图，过点A作AE⊥OC于E.∵tan∠AOC＝AEOE＝13，∴设AE＝a，则OE＝3a.(1)求反比例函数的解析式；∴A(3a，a)．∵点A在直线y＝x－2上，∴a＝3a－2.∴a＝1.∴A(3，1)．把A(3，1)代入y＝kx，解得k＝3.∴y＝3x.(2)由y＝x－2，y＝3x，解得x＝3y＝1，或x＝－1y＝－3，∴B(－1，－3)．∴OB＝10.(2)D是y轴上一点，且△BOD是以OB为腰的等腰三角形，请你求出所有符合条件的D点的坐标．∵△BOD是以OB为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：①当OD＝OB时，D1(0，10)，D2(0，－10)；②当BO＝BD时，OD＝6，∴D3(0，－6)．综上所述，满足条件的点D的坐标为(0，10)或(0，－10)或(0，－6)．2．(2020·湘潭中考)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3，4)．解：(1)过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图．∵A(3，4)，∴OE＝3，AE＝4.(1)求过点B的反比例函数y＝kx图象的解析式；∴AO＝OE2＋AE2＝5.∵四边形OABC是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴．∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE＋EF＝3＋5＝8.∴B(8，4)．把B点坐标代入y＝kx得k＝32.∴反比例函数的解析式为y＝32x.(2)∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°.∴∠OBF＋∠DBF＝90°.∵∠DBF＋∠BDF＝90°，∴∠OBF＝∠BDF.(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF∽△BDF.∴OFBF＝BFDF.∴84＝4DF.解得DF＝2，∴OD＝OF＋DF＝8＋2＝10.∴D(10，0)．设BD所在直线解析式为y＝ax＋b，把B(8，4)，D(10，0)分别代入，得8a＋b＝4，10a＋b＝0，解得a＝－2，b＝20.∴直线BD的解析式为y＝－2x＋20.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交于点A(－3，m)．(1)求m，k的值；解：(1)∵直线y＝x经过点A(－3，m)，∴m＝－3.又∵函数y＝kx(x＜0)的图象经过点A(－3，－3)，∴k＝－3×(－3)＝3.(2)点P(xP，yP)为直线y＝x上任意一点，将直线y＝x沿y轴向上平移两个单位长度得到直线l，过点P作x轴的垂线交直线l于点C，交反比例函数y＝kx(x＜0)的图象于点D.①当xP＝－1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；②若PC＋PD≤4时，结合函数图象，直接写出xP的取值范围．(2)①PC＝PD，理由如下：∵点P为直线y＝x上一点，xp＝－1，∴P(－1，－1)．∵直线y＝x向上平移两个单位长度得到直线l，∴直线l的解析式为y＝x＋2.∵PC⊥x轴，∴C(－1，1)．由(1)知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝3x(x＜0)．把x＝－1代入y＝3x，得y＝－3.∴点D的坐标为(－1，－3)．∴PC＝PD＝2.②－3≤xP≤－1.解析：如图，由(1)知，当xP＝－1时，PC＝PD＝2，∴PC＋PD＝4，由平移知，P′C′＝2.∴当点D′与点C′重合时，P′C′＋P′D′＝4.联立直线l：y＝x＋2与反比例函数y＝3x(x＜0)，解得x＝－3，∴点D′与C′重合时，xP＝－3，由图象知，－3≤xP≤－1.