初中数学【9年级下】专题6：二次函数综合

中考热点专题专题六：二次函数综合1．(2020·苏州中考)如图，二次函数y＝x2＋bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于点C左侧)，与抛物线对称轴交于点D(2，－3)．解：(1)直线l与抛物线的对称轴交于点D(2，－3)，故抛物线的对称轴为x＝2，即－12b＝2，解得b＝－4.(1)求b的值；(2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧)，四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P′(x1，y1)、Q′(x2，y2)．若|y1－y2|＝2，求x1、x2的值．(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2－4x.把y＝－3代入得x＝1或3，故点B(1，－3)、C(3，－3)，则BC＝2.∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2.故x2－x1＝2.又∵y1＝x21－4x1，y2＝x22－4x2，|y1－y2|＝2，∴|(x21－4x1)－(x22－4x2)|＝2.∴x1＋x2＝5或x1＋x2＝3.由x2－x1＝2，x1＋x2＝5得x1＝32，x2＝72；由x2－x1＝2，x1＋x2＝3得x1＝12，x2＝52.∴x1＝32，x2＝72或x1＝12，x2＝52.2．(2020·安徽中考)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点．解：(1)点B是在直线y＝x＋m上，理由如下：∵直线y＝x＋m经过点A(1，2)，∴2＝1＋m，解得m＝1.∴直线的解析式为y＝x＋1.把x＝2代入y＝x＋1得y＝3.∴点B(2，3)在直线y＝x＋m上．(1)判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(2)∵直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋bx＋1都经过点(0，1)，A，B两点均在直线y＝x＋1上，且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点．把A(1，2)，C(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1得a＋b＋1＝2，4a＋2b＋1＝1，解得a＝－1，b＝2.(3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．(3)由(2)知，抛物线为y＝－x2＋2x＋1，设平移后的抛物线为y＝－x2＋px＋q，其顶点坐标为(p2，p24＋q)．∵顶点仍在直线y＝x＋1上，∴p24＋q＝p2＋1.∴q＝－p24＋p2＋1＝－14(p－1)2＋54，∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的值最大，为54.3．(2020·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，－2)．(1)求抛物线的函数解析式；解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)．将C(0，－2)代入得－4a＝－2，解得a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12(x＋1)(x－4)，即y＝12x2－32x－2.(2)如图①，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；(2)如图①，过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K.∴AK∥DG.∴△AKE∽△DFE.∴DFAK＝DEAE.∴S1S2＝S△BDES△ABE＝DEAE＝DFAK.易得直线BC的解析式为y＝12x－2.∵A(－1，0)，∴yk＝－12－2＝－52.∴AK＝52.设D(m，12m2－32m－2)，则F(m，12m－2)．∴DF＝12m－2－12m2＋32m＋2＝－12m2＋2m.∴S1S2＝－15(m－2)2＋45.∴当m＝2时，S1S2有最大值，最大值是45.(3)如图②，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在．∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝12x，设P(n，n2)，①当点P在直线BQ右侧时，如图②，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，∵A(－1，0)，C(0，－2)，B(4，0)，∴AC＝5，AB＝5，BC＝25.∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.∵△PQB∽△CAB，∴PQPB＝ACBC＝12，∠QPB＝∠ACB＝90°.易证△QPM∽△PBN.∴QMPN＝PMBN＝PQPB＝12.∴QM＝n4，PM＝12(n－4)＝12n－2.∴MN＝n－2，BN－QM＝n－4－n4＝34n－4.∴Q(34n，n－2)．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得12×(34n)2－32×34n－2＝n－2，解得n＝0(舍去)或n＝689.∴P(689，349)．②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为(54n，2)．此时点P的坐标为(6＋2415，3＋415)．综上，符合条件的点P的坐标为(689，349)或(6＋2415，3＋415)．