机械优化设计

机械优化设计第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章绪论优化设计的数学模型和基本概念无约束问题的最优化方法约束问题的最优化方法多目标问题的最优化方法现代优化设计方法离散变量和随机变量的最优化方法优化设计过程中应注意的问题第一章绪论一.优化最优化的简写为Opt.最优值(Optimum)1.优化在规定的范围内（或条件下），寻找给定函数取得的最大值（或最小值）的条件。例如,在右图中，求得一维函数f(x)最小值的条件为：若ｘ取x*，则f(x)取得最小值f(x*)。目的是为了在完成某一任务时所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。x*xff(x*)0f(x)第一章绪论一.优化2.优化过程优化的过程是一种决策的过程。例如，要求设计一个如右下图所示的防洪堤坝。为了能防洪水，高度必须足以保证洪峰到来时，洪水不会漫入堤岸；堤坝的强度足以保证巨浪不会冲垮堤坝。同时希望得到一个省时省力省经费的设计方案。所作的努力或希望的效益在实际问题中均可表达为一些决策变量的函数。优化过程就是求解一个付出的努力最小、获得效益最大的方案。获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。Hhb第一章绪论一.优化3.优化方法实际问题表达成的函数类型很多：确定型、不确定型函数；线形、非线形（二次、高次、超越）函数。变量类型也很多：连续、离散、随机变量等等。求解问题的优化方法也很多，最常用的为数学规划法，它是运筹学的一部分。而运筹学是数学的一个分支。产生很多的优化算法：无约束优化、约束优化：单目标函数优化、多目标函数优化；连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。绪论优化运用在设计领域优化运用在控制领域——优化设计——最优控制3.优化设计运用于各领域土木工程、水利工程、城市规划、化工系统、电气系统、电子产品、机械产品……优化运用于机械产品的设计，称机械优化设计。第一章二.优化设计1.传统设计与优化设计传统设计：求得可行解。优化设计：解得最优解。2.优化设计与最优控制第一章绪论三.机械优化设计1.传统机械设计理论与方法疲劳寿命理论、强度理论、振动理论……常凭经验、试算、校核等方法。2.现代机械设计理论与方法60年代出现：计算机辅助设计CAD、有限单元法、可靠性设计、优化设计、设计方法学、价值工程、反求工程……90年代出现：并行设计、虚拟设计、仿生设计、协同设计……第一章绪论三.机械优化设计3.机械优化设计的发展古典优化思想:17世纪发明微积分中的极值问题。经典优化设计:20世纪40年代起，数学规划论和计算机技术的发展使最优化设计计算成为可能。优化设计从无约束→有约束优化问题；连续变量→离散变量；确定型→随机型模型；单目标优化→多目标优化。现代优化设计：20世纪80年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。并从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。第一章绪论三.机械优化设计4.机械优化设计的作用使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能；使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；使零缺陷（废品）设计成为可能；大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量。第二章§2.1§2.2§2.3§2.4§2.5§2.6优化设计的数学模型和基本概念优化设计的数学模型优化设计的三大要素优化设计的分类优化设计的数学基础优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件§2.1优化设计的数学模型一.机械优化设计方法解决实际问题的步骤1.分析实际问题，建立优化设计的数学模型；分析：①②③设计的要求（目标、准则）；设计的限制（约束）条件；设计的参数，确定设计变量。建立：机械优化设计方法相应的数学模型。2.分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（优化算法）。3.编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析,最终确定是否选用此次计算的解。§2.1优化设计的数学模型Q=1/4πd2lρ→min.；二.举例：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型已知：轴的一端作用载荷P=1000N，扭矩M=100N·m；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力[σw]=120MPa，许用扭剪应力[τ]=80MPa，许用挠度[f]=0.01cm；密度[ρ]=7.8t/m，弹性模量E=2×105MPa。要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。分析：设计目标是轴的质量最轻设计限制条件有5个：弯曲强度：σmax≤[σw]扭转强度：τ≤[τ]刚度：f≤[f]结构尺寸：l≥8d≥0设计参数中的未定变量：d、l§2.1优化设计的数学模型具体化：目标函数约束函数Q=σmaxτ=f=l≥d≥1/4πd2lρ→min.=Pl/(0.1d3)≤[σw]M/(0.2d3)≤[τ]Pl3/(3EJ)≤[f]80代入数据整理得数学模型：设：X=[x1,x2]T=[d,l]Tmin.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0二.举例（续）§2.1优化设计的数学模型机械优化设计数学模型的一般形式：设X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f(x)=f(x1,x2,…,xn)X∈Rns.t.gu(x)≤0u=1,2,…,m————目标函数——————————约束函数（性能约束）约束函数（性能约束）约束函数（性能约束）约束函数（几何约束）约束函数（几何约束）（不等式约束）hv(x)=0v=1,2,…,pn（等式约束）设计变量属于2维欧氏空间设：X=[x1,x2]T=[d,l]Tmin.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0三.优化设计的数学模型根据例子中的数学模型：§2.2优化设计的三大要素一.设计变量：设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数：例，位移、速度、加速度动力学参数：例，力、力矩、应力其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度非物理量：例，效率、寿命、成本设计变量：优化设计问题有n个设计变量x1,x2,…,xn，用xi(i=1,2,…,n)表示，是设计向量X的n个分量。设计向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定义在n维欧氏空间中的一个向量。(k)）：§2.2优化设计的三大要素设计点:X(k)（x1(k),x2(k),…,xn是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第k个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间Rn：以x1,x2,…,xn为坐标轴，构成n维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。X1X3X20X(1)ΔX（1）X(2)例：右图三维空间中第1设计点：X(1)=[x1(1),x2(1),x3(1)]T第2设计点：X(2)=[x1(2),x2(2),x3(2)]T其中：X(2)=X(1)+ΔX(1)增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T即x1(2)=x1(1)+Δx1(1)x2(2)=x2(1)+Δx2(1)x3(2)=x3(1)+Δx3(1)一.设计变量（续）§2.2优化设计的三大要素不等式约束函数：gu(x)≤0等式约束数：hv(x)=0u=1,2,…,mv=1,2,…,p＜n问题：是否每个设计约束中都必须包含n个设计变量？m+p个约束呢？不等式约束能否表达成gu(x)≥0？p为什么必须小于n?例：有三个不等式约束g1(x)=-x1≤0g2(x)=-x2≤0g3(x)=x12+x22-1≤0再加一个等式约束h(x)=x1-x2=00X1X2g3(x)=0g2(x)=0g1(x)=0h(x)=0D二.约束函数设计约束：设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。{x§2.2优化设计的三大要素对于某一个不等式约束gu(x)≤0中，满足gu(x)=0的x点的计可行域。记作D=gu(x)≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p问题：等式约束与约束曲面是什么关系？}集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。它将设计空间分成两部分：满足约束条件gu(x)≤0的部分和不满足约束条件gu(x)＞0的部分。设计可行域（简称为可行域）D对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设二.约束函数（续1）约束（曲）面：§2.2优化设计的三大要素二.约束函数（续2）可行设计点（内点）：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。非可行设计点（外点）：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。极限设计点（边界点）：在约束面上的点称为极限设计点。若讨论的设计点x(k)点使得gu(x(k))=0，则gu(x(k))≤0称为适时约束或起作用约束。问题：①②③极限设计点是否代表可行设计方案？什么约束一定是适时约束？可行域是否一定封闭？jfj(x)§2.2优化设计的三大要素=其中：f1(x)，f2(x)，…fq(x)代表q个分设计目标；ω1，ω2，…，ωq代表q个加权系数。qj=1三.目标函数目标函数：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。多目标函数：由于评价准则的非唯一性，目标函数可以是一个——单目标函数，也可以是多个——称为多目标函数。单目标函数的表达式为：f(x)=f(x1,x2,…,xn)多目标函数的表达式为：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)§2.2优化设计的三大要素问题：①f(x)是否一定应包含所有的设计变量？②f(x)若是越大越好，则应如何处理？③分目标函数f1(x)，f2(x)，…fq(x)中，有些是越小越好，有些是越大越好，则又应如何处理？三.目标函数(续）说明：①f(x)必须是x的函数，应随设计点的变化f(x)的值上升、下降；②f(x)应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计算方法计算。③f(x)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。例如，销轴的质量：Q=1/4πd2lρ，∵1/4πρ是常数，∴目标函数可简化为f(x)=d2l=x12x2§2.3优化设计的分类一.按模型性质分：确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素）动态优化问题（随时间变化，系统响应变化）不确定型优化问题（随机优化问题）二.按设计变量性质分连续变量、离散变量、随机变量三.按约束情况分1.按有无约束分：无约束优化问题约束优化问题2.按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束）性能约束（功能约束、性态约束）§2.3优化设计的分类（续）四.按目标函数和约束函数的特性分：线性规划问题非线性规划问题几何规划问题二次规划问题五.按目标函数的个数分：单目标优化问题双目标优化问题多目标优化问题§2.4优化设计的数学基础一.等值（线）面：对于可计算的函数f(x)，给定一个设计点X(k)(x1(k),x2(k),…,xn(k))，f(x)总有一个定值c与之对应；而当f(x)取定值c时，则有无限多个设计点X(i)(x1(i),x2(i),…,xn(i))（i=1,2,…）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。当c取c1,c2,…等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。当f(x)是二维时，获得一族等值线族；当f(x)是