三角函数正余弦定理

正、余弦定理(2)变形式：①a＝，b＝，c＝.1．正弦定理(1)基本形式：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R是△ABC外接圆的直径)．2RsinA2RsinB2RsinC②S△ABC＝＝12bcsinA＝12acsinB.12absinC1.正弦定理的适用条件是什么？【思考·提示】(1)已知一边和两角解三角形；(2)已知两边和一边的对角解三角形；(3)已知两边与夹角求面积．2．余弦定理(1)基本形式：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)变形式：cosA＝，cosB＝，cosC＝.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab2.余弦定理的适用条件是什么？【思考·提示】(1)已知两边与夹角求第三边；(2)已知三边解三角形；(3)已知两边及一对角求第三边(利用方程思想)．A．60°B．120°C．135°D．150°答案：B1．(2009年高考福建卷改编)已知钝角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．45°或135°B．135°C．45°D．75°答案：C2．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是()答案：CA.334B.1532C.1534D.15384．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝______.答案：5π6答案：直角三角形5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据正弦定理和大边对大角定理进行判断．考点一正弦定理的应用已知下列各三角形中的两边及其一边的对角解三角形，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．例1(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.【思路点拨】已知三角形的两边及其中一边的对角，可利用正弦定理解三角形，但要注意解的判断．【解】(1)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°讨论如下：∵bsinA＝20·sin80°20·sin60°＝103，∴ab·sinA，∴本题无解．(2)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°又∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴本题有两解．由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；【易误点评】在(2)中容易漏掉B＝120°的情形，对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意是一解、二解还是无解．当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.互动探究若例1的要求不变，条件为(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝56，C＝60°.解：(1)a＝7，b＝8，ab，∴BA＝105°90°.∴本题无解．(2)b＝10，c＝56，bc，∴BC＝60°90°.∴本题有一解．∵sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．已知三边”解三角形主要运用余弦定理的推论．“已知两边和它们的夹角”解三角形可使用余弦定理求第三边，然后利用推论求出另一个角，最后利用A＋B＋C＝π求出第三个角．考点二余弦定理的应用例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【思路点拨】由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．【解】(1)法一：由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c，得a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.法二：cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC∴2sinAcosB＋cosBsinC＝－sinBcosC∴2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0∴2sinAcosB＋sinA＝0.∴cosB＝－12，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π，代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac(1－12)，∴ac＝3，∴S△ABC＝12acsinB＝334【名师点评】本题(1)中法一是利用余弦定理把角转化为边，把边转化为角．法二是利用正弦定理．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．考点三三角形形状的判定在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．例3【思路点拨】利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．【解】法一：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，即sin2AsinAsinB＝sin2BsinAsinB.∵0Aπ，0Bπ，∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．法二：同法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理得a2b·b2＋c2－a22bc＝b2a·a2＋c2－b22ac∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【思维总结】判断三角形形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．互动探究例3中，若条件改为cos2A2＝b＋c2c，试判断△ABC的形状．解：法一：∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cosA2＝b＋c2c，即cosA＝bc.由正弦定理，得cosA＝sinBsinC，即cosAsinC＝sin(A＋C)，整理得sinAcosC＝0.∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C＝π2.故△ABC为直角三角形．法二：同法一得cosA＝bc.由余弦定理得b2＋c2－a22bc＝bc，整理得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．考点四求三角形的面积1．在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2.利用面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB可以推导正弦定理(事实上，将上述等式中的各式都除以12abc，得sinCc＝sinAa＝sinBb，亦即asinA＝bsinB＝csinC)．例4(解题示范)(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【思路点拨】利用余弦定理和三角形面积公式列方程组解方程组得a，b诱导公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理将角化边列方程组求a，b，进而求三角形面积【解】(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.2分联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.4分(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.6分所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233；8分当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.10分【易误点评】在第(2)题中容易犯约分的错误而不分cosA＝0和cosA≠0去讨论．所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233.12分高考检阅(本题满分12分)(2009年高考湖北卷)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA3＝sinAsinC.2分∵sinA≠0，∴sinC＝32.4分∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3.6分(2)法一：∵c＝7，C＝π3.由面积公式得12absinπ3＝332，即ab＝6.①8分由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，即a2＋b2－ab＝7.②10分由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.12分法二：前同法一，联立①、②得a2＋b2－ab＝7，ab＝6.⇔a2＋b2＝13，ab＝6，8分消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.所以a＝2，b＝3，或a＝3，b＝2.故a＋b＝5.12分(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦或余弦定理，求出角B，C.1．解三角形常见的四种类型(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asinA＝bsinB＝csinC，可求出角C，再求出b，c.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由asinA＝csinC求出c，而通过asinA＝bsinB求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90°A＝90°A90°ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解2.解决三角形中的计算与证明问题，要注意以下几点(1)用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．(2)要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：(3)对轮换对称式的化简、计算、证明，可选择其中的一部分进行运算，其他部分同理推证．(4)对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sinA2＝cosB＋C2，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C